Polinomios y factorización

"La factorización es la habilidad de ver lo que está escondido dentro de la expresión. Es el equivalente algebraico de encontrar los factores primos de un número."

Qué vas a aprender en este capítulo

Los polinomios son las expresiones algebraicas más comunes en toda la matemática. Las ecuaciones que resolviste en el capítulo 2 eran de grado 1 (lineales). Ahora vas a manejar grado 2 y superior. Y la factorización — el proceso inverso de multiplicar — es la clave para resolver ecuaciones cuadráticas, simplificar fracciones algebraicas y entender las raíces de funciones. Es también la base que necesitás antes de Cálculo Diferencial.

4.1 ¿Qué es un polinomio?

💡 Intuición

Un polinomio es simplemente una suma de términos con potencias enteras no negativas. No nada exótico — ya los has visto toda la vida:

$3x + 5$ — polinomio de grado 1 (lineal)
$x^2 - 4x + 4$ — polinomio de grado 2 (cuadrático)
$2x^3 - x + 7$ — polinomio de grado 3 (cúbico)

Los polinomios aparecen en todas partes: el área de un terreno cuadrado ( $x^2$ ), el ingreso total de una empresa ( $px$ donde $p$ es precio y $x$ cantidad), la trayectoria de un balón lanzado.

Lo que no es polinomio: $\frac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ , $2^x$ . Esos tienen potencias negativas, fraccionarias, o la variable está en el exponente.

📐 Fundamento

Definición. Un polinomio en la variable $x$ es una expresión de la forma:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

donde $n \in \mathbb{N}_0$ , los coeficientes $a_i \in \mathbb{R}$ y $a_n \neq 0$ .

Grado: el mayor exponente con coeficiente no nulo. Ej.: $3x^4 - 2x^2 + 1$ tiene grado 4.
Término: cada $a_i x^i$ por separado.
Coeficiente líder: $a_n$ (el de la potencia más alta).
Término independiente: $a_0$ (sin $x$ ).

Clasificación por grado:

Grado	Nombre	Ejemplo
0	Constante	$7$
1	Lineal	$2x - 3$
2	Cuadrático	$x^2 + 5x - 6$
3	Cúbico	$x^3 - 2x$
4	Cuártico	$x^4 + 1$

Clasificación por número de términos:

Monomio: 1 término → $5x^3$
Binomio: 2 términos → $x^2 - 4$
Trinomio: 3 términos → $x^2 + 3x + 2$

🛠️ En la práctica

Evaluar un polinomio. Para $P(x) = 2x^3 - 5x + 1$ , calculá $P(-2)$ :

P(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2) + 1 = 2(-8) + 10 + 1 = -16 + 11 = -5

Error común: $(-2)^3 \neq -2^3$ . El primero eleva $-2$ al cubo: $(-2)^3 = -8$ . El segundo eleva 2 al cubo y luego le aplica el signo: $-2^3 = -(8) = -8$ . En este caso da lo mismo, pero con potencias pares no:

$(-3)^2 = 9$ ✅
$-3^2 = -9$ ✅ (son distintos)

4.2 Operaciones con polinomios

💡 Intuición

Operar polinomios es como ordenar ingredientes de una receta: solo se suman o restan los términos semejantes (misma potencia de $x$ ). Un huevo y una naranja no se suman para dar "dos cosas" — son categorías distintas. $3x^2$ y $5x$ tampoco se pueden combinar: son "potencias distintas".

La multiplicación aplica la propiedad distributiva: cada término del primero multiplica cada término del segundo.

📐 Fundamento

Suma y resta. Se opera término a término donde los exponentes coincidan:

(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 5x - 4) = 4x^2 + 3x - 3

(5x^2 + x - 2) - (2x^2 - 3x + 1) = 3x^2 + 4x - 3

(Al restar, cambiamos el signo de todos los términos del segundo polinomio.)

Multiplicación. Se aplica la propiedad distributiva:

(2x + 3)(x - 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4)

= 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12

Para trinomios por binomios, igual — cada término del primero multiplica a cada término del segundo.

🛠️ En la práctica

Truco: multiplicación en columna. Para $(x^2 - 3x + 2)(2x + 1)$ :

  x² - 3x + 2
  ×    2x + 1
  ————————————
   x² - 3x + 2    ← multiplicar por 1
2x³- 6x²+ 4x      ← multiplicar por 2x, corrido un lugar
————————————————
2x³ - 5x² + x + 2

Verificación rápida. Evaluá en $x = 0$ : el resultado debe dar el término independiente. Aquí $P(0) = 2$ , y el producto de términos independientes $(2)(1) = 2$ . ✓

4.3 Productos notables

💡 Intuición

Los productos notables son multiplicaciones de polinomios tan frecuentes que tiene sentido memorizar su resultado directo, en lugar de hacer la multiplicación cada vez. Es como memorizar que $12 \times 12 = 144$ en lugar de sumar 12 doce veces.

Los más importantes: cuadrado de suma/diferencia, y producto de suma por diferencia.

📐 Fundamento

1. Cuadrado de un binomio:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

2. Producto de suma por diferencia (diferencia de cuadrados):

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

3. Cubo de un binomio:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Verificaciones rápidas:

$(3 + 4)^2 = 49 = 9 + 24 + 16$ ✓ (usando $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ )
$(5 + 3)(5 - 3) = 16 = 25 - 9$ ✓

🛠️ En la práctica

Aplicar productos notables directamente:

$(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$

$(3x - 7)^2 = 9x^2 - 42x + 49$

$(4x + 1)(4x - 1) = 16x^2 - 1$

Error clásico: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . El término central $2ab$ es obligatorio. Nunca se puede "pasar la potencia al interior" sumando.

Uso práctico — cálculo mental:

$98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$

$51 \times 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499$

4.4 Factorización: el proceso inverso

💡 Intuición

Factorizar es deshacer una multiplicación: dado el resultado, encontrar los factores. Es como si viste que $6 = 2 \times 3$ y preguntaras "¿de dónde viene ese 6?". En álgebra:

Tenés $x^2 + 5x + 6$
Factorizás y encontrás $(x + 2)(x + 3)$

¿Para qué sirve? Para:

Resolver ecuaciones: si $(x + 2)(x + 3) = 0$ , entonces $x = -2$ o $x = -3$ .
Simplificar fracciones: $\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2} = x + 3$ (cancelar el factor común).
Entender raíces de funciones: los factores te dicen dónde la función cruza el eje $x$ .

📐 Fundamento

Principio zero-product: Si $A \cdot B = 0$ , entonces $A = 0$ o $B = 0$ .

Este principio es la razón por la que factorizar sirve para resolver ecuaciones. Si $P(x) = 0$ y $P(x) = (x - r_1)(x - r_2)$ , entonces $x = r_1$ o $x = r_2$ son las soluciones.

Técnicas de factorización (en orden de prioridad):

Factor común — siempre buscar primero
Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
Cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
Trinomio general: $x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$ donde $pq = c$ y $p + q = b$
Factor común por agrupación
Suma/diferencia de cubos: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

4.5 Técnicas de factorización

💡 Intuición

Factor común — El más básico. Si todos los términos tienen un factor compartido, sacalo afuera:

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

Aquí $3x$ es el factor común de $6x^2$ y $9x$ .

Trinomio: Para $x^2 + bx + c$ , buscá dos números $p$ y $q$ que sumen $b$ y multipliquen $c$ :

$x^2 + 5x + 6$ : necesito $p + q = 5$ y $p \cdot q = 6$ → $p = 2, q = 3$ → $(x+2)(x+3)$

Diferencia de cuadrados: Reconocé el patrón $a^2 - b^2$ :

$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ — así de directo.

📐 Fundamento

Técnica 1: Factor común.

12x^3 - 8x^2 + 4x = 4x(3x^2 - 2x + 1)

Verificá distribuyendo: $4x \cdot 3x^2 = 12x^3$ , etc.

Técnica 2: Diferencia de cuadrados.

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)

Técnica 3: Trinomio cuadrado perfecto.

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \quad \text{porque } 3 + 3 = 6, \; 3 \cdot 3 = 9

Técnica 4: Trinomio general $x^2 + bx + c$ .

Buscá $p, q$ con $p + q = b$ y $pq = c$ :

x^2 - x - 12: \quad pq = -12, p + q = -1 \Rightarrow p = -4, q = 3

x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

Técnica 5: Agrupación (para 4 términos).

x^3 + x^2 - 3x - 3 = x^2(x + 1) - 3(x + 1) = (x^2 - 3)(x + 1)

Técnica 6: Suma/diferencia de cubos.

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)

🛠️ En la práctica

Algoritmo para factorizar cualquier polinomio:

¿Hay factor común? Sacalo.
¿Cuántos términos tiene el resultado?
- 2 términos: diferencia de cuadrados, o suma/diferencia de cubos.
- 3 términos: cuadrado perfecto o trinomio general.
- 4 términos: agrupación.
¿Se puede factorizar más alguno de los factores?

Ejemplo completo: $2x^3 - 8x$

Factor común: $2x(x^2 - 4)$
$x^2 - 4$ es diferencia de cuadrados: $(x+2)(x-2)$
Resultado final: $2x(x+2)(x-2)$

Verificación: Evaluá en $x = 2$ : original $= 2(8) - 8(2) = 16 - 16 = 0$ ; factorizado $= 2(2)(4)(0) = 0$ ✓

4.6 Uso de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas

📐 Fundamento

Para resolver $ax^2 + bx + c = 0$ :

Método 1: factorización (cuando funciona, es el más rápido)

$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ o $x = 3$

Método 2: fórmula cuadrática (siempre funciona)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ indica cuántas raíces reales hay:

$\Delta$	Raíces
$> 0$	Dos raíces reales distintas
$= 0$	Una raíz real (raíz doble)
$< 0$	Sin raíces reales (raíces complejas)

Método 3: completar el cuadrado (útil para derivar la fórmula o para ciertas transformaciones)

$x^2 + 6x - 7 = 0$ $x^2 + 6x = 7$ $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16$ $(x + 3)^2 = 16$ $x + 3 = \pm 4$ $x = 1$ o $x = -7$

🛠️ En la práctica

Aplicación — Área de terreno:

Un terreno rectangular tiene largo = $(x + 5)$ metros y ancho = $(x + 2)$ metros. Su área es 40 m². Encontrá las dimensiones.

(x + 5)(x + 2) = 40

x^2 + 7x + 10 = 40

x^2 + 7x - 30 = 0

(x + 10)(x - 3) = 0

x = -10 \text{ (no válido, largo negativo)} \quad \text{o} \quad x = 3

Dimensiones: largo $= 8$ m, ancho $= 5$ m. ✓ ( $8 \times 5 = 40$ )

Aplicación — Precio de pupusas:

Una pupusería descubrió que si sube el precio $p$ dólares respecto al precio actual, la cantidad demandada baja según $Q = 500 - 100p$ . El ingreso es $I = p \cdot Q = 500p - 100p^2$ . ¿A qué precio se maximiza el ingreso?

La función $I(p) = -100p^2 + 500p$ es cuadrática con $a < 0$ (abre hacia abajo), así que el vértice es el máximo:

$$p_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{500}{2(-100)} = \frac{500}{200} = $2.50$$

Precio óptimo: $$2.50$ extra sobre el precio actual. Ingreso máximo: $I(2.5) = -100(6.25) + 500(2.5) = -625 + 1250 = $625$.

4.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 4.1 — Operaciones

Realizá las operaciones y simplificá:

a. $(3x^2 - 5x + 2) + (2x^2 + x - 7)$ b. $(4x^3 - x + 3) - (2x^3 + 3x^2 - x + 1)$ c. $(x + 4)(x - 3)$

✏️ Ejercicio 4.2 — Productos notables

Expandí usando productos notables (sin multiplicar directamente):

a. $(5x - 3)^2$ b. $(2x + 7)(2x - 7)$ c. $(x + 1)^3$

✏️ Ejercicio 4.3 — Factorización

Factorizá completamente:

a. $6x^3 + 9x^2 - 15x$ b. $x^2 - 7x + 12$ c. $4x^2 - 36$ d. $x^3 + 8$

✏️ Ejercicio 4.4 — Ecuación cuadrática

Resolvé las ecuaciones:

a. $x^2 + 3x - 18 = 0$ (por factorización) b. $2x^2 - 3x - 2 = 0$ (por fórmula cuadrática) c. $x^2 - 6x + 9 = 0$ (identificar tipo de raíz)

✏️ Ejercicio 4.5 — Aplicación

El número de empleados de una microempresa salvadoreña en el año $t$ (contando desde 2020) está dado por $E(t) = t^2 - 3t + 2$ .

a. ¿Cuántos empleados había en 2020 ( $t = 0$ )? b. ¿En qué año(s) tenía 0 empleados? c. ¿Cuándo tendría exactamente 20 empleados?

4.8 Para profundizar

Stewart, Pre-Cálculo, capítulos de polinomios y factorización.
Khan Academy — sección "Algebra 1: Factoring", con práctica interactiva ilimitada.
Siguiente: Funciones trigonométricas — nuevas funciones con propiedades completamente distintas a las polinomiales.

Definiciones nuevas: polinomio, grado, coeficiente líder, término independiente, monomio, binomio, trinomio, producto notable, factorización, discriminante, raíz doble, principio zero-product.

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