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Exponenciales y logaritmos

"El interés compuesto es la octava maravilla del mundo. El que lo entiende, lo gana; el que no, lo paga." — atribuido a Einstein.

Qué vas a aprender en este capítulo

Las funciones exponenciales modelan cualquier proceso donde algo crece (o decrece) a una tasa proporcional a sí mismo: poblaciones, dinero en el banco, radiactividad, temperatura de un café enfriándose, propagación de un virus. El logaritmo es la función inversa — permite deshacer una exponencial y medir magnitudes en escalas enormes (la escala Richter, el pH, los decibelios). Este capítulo completa el catálogo de funciones esenciales antes del cálculo.

6.1 Funciones exponenciales

💡 Intuición

Ponés $$100$ en el banco con 10% anual. Cada año, el monto se multiplica por 1.10:

Año Monto
0 $100
1 $110
2 $121
3 $133.10
10 $259.37

El monto en el año tt es M(t)=100⋅(1.10)tM(t) = 100 \cdot (1.10)^t. Eso es una función exponencial: la variable está en el exponente, no en la base.

A diferencia de los polinomios (x2x^2 crece lento y luego rápido, pero predeciblemente), las exponenciales siempre crecen más rápido que cualquier polinomio, dado suficiente tiempo.

📐 Fundamento

Función exponencial: f(x)=bxf(x) = b^x, donde b>0b > 0 y b≠1b \neq 1.

Propiedades de la función exponencial:

  • Dominio: R\mathbb{R}
  • Rango: (0,∞)(0, \infty) — siempre positiva
  • Intercepto en yy: (0,1)(0, 1) — porque b0=1b^0 = 1
  • Asíntota horizontal: y=0y = 0 (el eje xx)
  • Si b>1b > 1: función creciente (crecimiento exponencial)
  • Si 0<b<10 < b < 1: función decreciente (decaimiento exponencial)

Propiedades algebraicas (leyes de exponentes):

bm⋅bn=bm+nb^m \cdot b^n = b^{m+n}
bmbn=bm−n\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}
(bm)n=bmn(b^m)^n = b^{mn}
b0=1,b−n=1bnb^0 = 1, \quad b^{-n} = \frac{1}{b^n}

🛠️ En la práctica

Simplificar expresiones:

25⋅2324=25+3−4=24=16\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4} = 2^{5+3-4} = 2^4 = 16
(32)3=36=729(3^2)^3 = 3^6 = 729

Error común: 23+23≠262^3 + 2^3 \neq 2^6. Los exponentes no se suman al sumar. 23+23=8+8=16=242^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4. Solo se suman los exponentes al multiplicar bases iguales.

Graficar y=2xy = 2^x vs y=(1/2)xy = (1/2)^x:

2x2^x: pasa por (0,1)(0,1), (1,2)(1,2), (−1,0.5)(-1, 0.5). Crece hacia la derecha.

(1/2)x(1/2)^x: pasa por (0,1)(0,1), (1,0.5)(1, 0.5), (−1,2)(-1, 2). Decrece hacia la derecha. Es el reflejo de 2x2^x sobre el eje yy.

6.2 La constante ee y el crecimiento continuo

💡 Intuición

Volvamos al banco. Si el 10% anual se aplica mensualmente, el banco aplica 10%/12 cada mes, durante 12 meses. El monto final es:

$$M = 100 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12} \approx $110.47$$

¿Y si se aplica diariamente? $\left(1 + \frac{0.10}{365}\right)^{365} \approx $110.52$

¿Y si se aplica continuamente (infinitamente frecuente)?

$$M = 100 \cdot e^{0.10} \approx $110.52$$

El número e≈2.718e \approx 2.718 es el límite natural de ese proceso. Es la base "perfecta" para el crecimiento continuo, y por eso aparece en todas partes: crecimiento de poblaciones, corriente eléctrica en circuitos, curvas de enfriamiento, probabilidad.

📐 Fundamento

Definición de ee:

e=lim⁡n→∞(1+1n)n≈2.71828…e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828\ldots

Es un número irracional y trascendente (no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales).

Función exponencial natural: f(x)=exf(x) = e^x (también escrita exp⁡(x)\exp(x)).

Fórmula de crecimiento/decaimiento continuo:

A(t)=A0⋅ektA(t) = A_0 \cdot e^{kt}

donde:

  • A0A_0: cantidad inicial
  • kk: tasa de crecimiento (k>0k > 0) o decaimiento (k<0k < 0)
  • tt: tiempo

Fórmula de interés compuesto continuo:

A=PertA = Pe^{rt}

donde PP es el principal, rr la tasa anual y tt los años.

🛠️ En la práctica

Inversión con interés continuo:

$$500$ al 8% anual compuesto continuamente durante 5 años:

$$A = 500 \cdot e^{0.08 \times 5} = 500 \cdot e^{0.4} \approx 500 \times 1.4918 = $745.91$$

Población bacteriana:

Una bacteria se duplica cada 20 minutos. Partiendo de 1000 bacterias, ¿cuántas habrá en 2 horas (120 minutos)?

La duplicación cada 20 min significa k=ln⁡(2)/20k = \ln(2)/20. En 120 min hay 120/20=6120/20 = 6 períodos de duplicación:

A=1000⋅26=64,000 bacteriasA = 1000 \cdot 2^6 = 64{,}000 \text{ bacterias}

O usando la fórmula continua: A=1000⋅e(ln⁡2/20)⋅120=1000⋅e6ln⁡2=1000⋅26=64,000A = 1000 \cdot e^{(\ln 2 / 20) \cdot 120} = 1000 \cdot e^{6\ln 2} = 1000 \cdot 2^6 = 64{,}000. ✓

6.3 Logaritmos: la función inversa del exponencial

💡 Intuición

Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente elevo la base para obtener este número?

  • log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 porque 23=82^3 = 8
  • log⁡10(100)=2\log_{10}(100) = 2 porque 102=10010^2 = 100
  • log⁡10(1000)=3\log_{10}(1000) = 3 porque 103=100010^3 = 1000

La escala Richter es logarítmica: un sismo 6.0 no es el doble de fuerte que uno de 3.0 — es 1000 veces más fuerte (106−3=103=100010^{6-3} = 10^3 = 1000). Los logaritmos comprimen escalas enormes en números manejables.

📐 Fundamento

Definición: El logaritmo en base bb (b>0,b≠1b > 0, b \neq 1) se define como:

log⁡b(x)=y  ⟺  by=x\log_b(x) = y \iff b^y = x

Dos logaritmos especiales:

  • log⁡10(x)=log⁡(x)\log_{10}(x) = \log(x) — logaritmo común (en calculadora: tecla LOG)
  • log⁡e(x)=ln⁡(x)\log_e(x) = \ln(x) — logaritmo natural (en calculadora: tecla LN)

Propiedades de la función log⁡b(x)\log_b(x):

  • Dominio: (0,∞)(0, \infty) — solo números positivos
  • Rango: R\mathbb{R}
  • log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0 (porque b0=1b^0 = 1)
  • log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1 (porque b1=bb^1 = b)
  • La función es el reflejo de bxb^x sobre la recta y=xy = x

Propiedades algebraicas:

log⁡b(MN)=log⁡b(M)+log⁡b(N)\log_b(MN) = \log_b(M) + \log_b(N)
log⁡b ⁣(MN)=log⁡b(M)−log⁡b(N)\log_b\!\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b(M) - \log_b(N)
log⁡b(Mp)=p⋅log⁡b(M)\log_b(M^p) = p \cdot \log_b(M)
log⁡b(bx)=x,blog⁡b(x)=x\log_b(b^x) = x, \qquad b^{\log_b(x)} = x

Cambio de base:

log⁡b(x)=log⁡(x)log⁡(b)=ln⁡(x)ln⁡(b)\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}

🛠️ En la práctica

Expandir expresiones logarítmicas:

ln⁡(x3yz2)=3ln⁡x+12ln⁡y−2ln⁡z\ln\left(\frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right) = 3\ln x + \frac{1}{2}\ln y - 2\ln z

Condensar:

2log⁡x−13log⁡(x+1)=log⁡(x2(x+1)1/3)2\log x - \frac{1}{3}\log(x+1) = \log\left(\frac{x^2}{(x+1)^{1/3}}\right)

Cambio de base:

log⁡5(47)=ln⁡(47)ln⁡(5)=3.8501.609≈2.393\log_5(47) = \frac{\ln(47)}{\ln(5)} = \frac{3.850}{1.609} \approx 2.393

Error común: log⁡(a+b)≠log⁡(a)+log⁡(b)\log(a + b) \neq \log(a) + \log(b). La propiedad del producto es para multiplicaciones dentro del log, no sumas. log⁡(100)=2\log(100) = 2, pero log⁡(50+50)≠log⁡(50)+log⁡(50)=1.7+1.7=3.4\log(50 + 50) \neq \log(50) + \log(50) = 1.7 + 1.7 = 3.4.

6.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

📐 Fundamento

Resolver ecuaciones exponenciales:

Estrategia 1: Igualar bases (cuando es posible).

4x=8⇒22x=23⇒2x=3⇒x=324^x = 8 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

Estrategia 2: Aplicar logaritmo a ambos lados (siempre funciona).

5x=37⇒ln⁡(5x)=ln⁡(37)⇒xln⁡5=ln⁡37⇒x=ln⁡37ln⁡5≈2.2445^x = 37 \Rightarrow \ln(5^x) = \ln(37) \Rightarrow x\ln 5 = \ln 37 \Rightarrow x = \frac{\ln 37}{\ln 5} \approx 2.244

Resolver ecuaciones logarítmicas:

Estrategia: Aislar el log y luego exponenciar.

log⁡2(x+3)=4⇒x+3=24=16⇒x=13\log_2(x + 3) = 4 \Rightarrow x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13
ln⁡(x)+ln⁡(x−2)=ln⁡(3)⇒ln⁡(x(x−2))=ln⁡3⇒x2−2x=3\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3) \Rightarrow \ln(x(x-2)) = \ln 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 3
x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0⇒x=3  (vaˊlido, x>0)x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 3 \; \text{(válido, }x > 0\text{)}

(x=−1x = -1 se descarta porque ln⁡(−1)\ln(-1) no existe.)

Revisar el dominio: En ecuaciones logarítmicas, siempre verificar que las soluciones estén en el dominio (argumentos positivos).

🛠️ En la práctica

Tiempo de duplicación: ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión al 6% continuo?

2P=Pe0.06t⇒2=e0.06t⇒ln⁡2=0.06t⇒t=ln⁡20.06≈0.6930.06≈11.55 an˜os2P = Pe^{0.06t} \Rightarrow 2 = e^{0.06t} \Rightarrow \ln 2 = 0.06t \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0.06} \approx \frac{0.693}{0.06} \approx 11.55 \text{ años}

Regla del 72: Una aproximación popular: el tiempo de duplicación ≈ 72/tasa (en %). Aquí 72/6 = 12 años. La regla es exacta cuando la tasa es baja. ✓

pH: La acidez se mide como pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]. Si [H+]=10−3[\text{H}^+] = 10^{-3} mol/L, entonces pH=3\text{pH} = 3 (muy ácido).

Decibeles: L=10log⁡10(I/I0)L = 10 \log_{10}(I / I_0) dB, donde I0=10−12I_0 = 10^{-12} W/m² es el umbral auditivo. Un sonido de 10−610^{-6} W/m²: L=10log⁡10(10−6/10−12)=10log⁡10(106)=10×6=60L = 10\log_{10}(10^{-6}/10^{-12}) = 10\log_{10}(10^6) = 10 \times 6 = 60 dB (conversación normal).

6.5 Ejercicios

✏️ Ejercicio 6.1 — Propiedades de exponentes

Simplificá:

a. 37⋅3−432\dfrac{3^7 \cdot 3^{-4}}{3^2} b. (43)1/2(4^3)^{1/2} c. (2x)4x2\dfrac{(2x)^4}{x^2}

Solución

a. 37−4−2=31=33^{7-4-2} = 3^1 = 3

b. 43/2=(41/2)3=23=84^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8

c. 16x4x2=16x2\dfrac{16x^4}{x^2} = 16x^2

✏️ Ejercicio 6.2 — Propiedades de logaritmos

Expandí:

a. log⁡ ⁣(x2y3)\log!\left(x^2 y^3\right) b. ln⁡ ⁣(e3x)\ln!\left(\dfrac{e^3}{x}\right) c. log⁡2(8x)\log_2(8x)

Solución

a. 2log⁡x+3log⁡y2\log x + 3\log y

b. ln⁡(e3)−ln⁡(x)=3−ln⁡x\ln(e^3) - \ln(x) = 3 - \ln x

c. log⁡28+log⁡2x=3+log⁡2x\log_2 8 + \log_2 x = 3 + \log_2 x

✏️ Ejercicio 6.3 — Ecuaciones exponenciales

Resolvé:

a. 32x=813^{2x} = 81 b. ex−1=7e^{x-1} = 7 c. 2⋅5x=2502 \cdot 5^x = 250

Solución

a. 32x=34⇒2x=4⇒x=23^{2x} = 3^4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

b. x−1=ln⁡7⇒x=1+ln⁡7≈2.946x - 1 = \ln 7 \Rightarrow x = 1 + \ln 7 \approx 2.946

c. 5x=125=53⇒x=35^x = 125 = 5^3 \Rightarrow x = 3

✏️ Ejercicio 6.4 — Ecuaciones logarítmicas

Resolvé:

a. log⁡3(x−2)=3\log_3(x - 2) = 3 b. ln⁡(2x+1)=2\ln(2x + 1) = 2 c. log⁡x+log⁡(x−15)=2\log x + \log(x - 15) = 2

Solución

a. x−2=33=27⇒x=29x - 2 = 3^3 = 27 \Rightarrow x = 29

b. 2x+1=e2⇒x=e2−12≈3.192x + 1 = e^2 \Rightarrow x = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.19

c. log⁡(x(x−15))=2⇒x(x−15)=100⇒x2−15x−100=0⇒(x−20)(x+5)=0\log(x(x-15)) = 2 \Rightarrow x(x-15) = 100 \Rightarrow x^2 - 15x - 100 = 0 \Rightarrow (x-20)(x+5) = 0. x=20x = 20 (válido, >15>0> 15 > 0). x=−5x = -5 descartado.

✏️ Ejercicio 6.5 — Modelado

Una empresa salvadoreña de tecnología tenía 50 empleados en 2020 y creció a 200 empleados en 2025. Asumí crecimiento exponencial continuo.

a. Encontrá la tasa de crecimiento kk. b. ¿Cuántos empleados habrá en 2030 si continúa la misma tendencia? c. ¿En qué año llegaría a 1000 empleados?

Solución

Modelo: E(t)=50ektE(t) = 50 e^{kt}, con t=0t = 0 en 2020.

a. En t=5t = 5: 200=50e5k⇒4=e5k⇒5k=ln⁡4⇒k=ln⁡45≈0.277200 = 50 e^{5k} \Rightarrow 4 = e^{5k} \Rightarrow 5k = \ln 4 \Rightarrow k = \frac{\ln 4}{5} \approx 0.277 (27.7% anual continuo).

b. E(10)=50e0.277×10=50e2.773=50×16=800E(10) = 50 e^{0.277 \times 10} = 50 e^{2.773} = 50 \times 16 = 800 empleados. (Exacto: 50×42=80050 \times 4^2 = 800.)

c. 1000=50e0.277t⇒20=e0.277t⇒t=ln⁡200.277≈3.00.277≈10.81000 = 50 e^{0.277 t} \Rightarrow 20 = e^{0.277 t} \Rightarrow t = \frac{\ln 20}{0.277} \approx \frac{3.0}{0.277} \approx 10.8 años desde 2020 → alrededor de 2031.

6.6 Cierre de Matemática I

Con este capítulo completás las herramientas matemáticas esenciales del primer ciclo:

  1. Números reales — el sistema donde vivimos algebraicamente.
  2. Ecuaciones lineales — resolver situaciones con una incógnita o varias.
  3. Funciones — el concepto central de toda la matemática avanzada.
  4. Polinomios y factorización — las expresiones algebraicas más versátiles.
  5. Funciones trigonométricas — para modelar ciclos, ondas y geometría.
  6. Exponenciales y logaritmos — para modelar crecimiento y escalar magnitudes.

Estas seis herramientas van a aparecer repetidamente en Cálculo Diferencial, Física Mecánica, Estadística Descriptiva y todo el resto de la carrera.

6.7 Para profundizar

Definiciones nuevas: función exponencial, base, exponente, crecimiento exponencial, decaimiento exponencial, número e, logaritmo, logaritmo natural, logaritmo común, cambio de base, interés compuesto continuo, regla del 72.

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