Ecuaciones lineales y sistemas

"El álgebra es nada más que geometría escrita; la geometría es nada más que álgebra dibujada." — Sophie Germain.

Qué vas a aprender en este capítulo

Una ecuación es una pregunta: "¿qué número satisface esta igualdad?". Aprender a hacer y responder ecuaciones es la primera puerta del álgebra. En este capítulo vas a dominar las lineales (las más simples y más útiles), después los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, y vas a aprender a traducir problemas del lenguaje natural a ecuaciones — la habilidad más rentable de toda la matemática aplicada.

2.1 La idea: balanza y operaciones espejo

💡 Intuición

Imaginá una balanza de dos platillos en equilibrio. Eso es una ecuación: el lado izquierdo "pesa" lo mismo que el derecho.

Para mantener el equilibrio, todo lo que hagas a un platillo, lo tenés que hacer al otro. Si sumás 3 a la izquierda, sumá 3 a la derecha. Si dividís por 2 la izquierda, dividí por 2 la derecha.

Esa es la regla de oro del álgebra: cualquier operación válida (no dividir por cero, no romper signos), si la aplicás a ambos lados, mantiene la verdad de la ecuación.

Resolver una ecuación es hacer una secuencia de estas "operaciones espejo" hasta dejar la incógnita sola en un lado: $x = \text{algo}$ .

2.2 Ecuaciones lineales en una variable

📐 Fundamento

Forma general.

a x + b = 0 \quad \text{con } a \neq 0

(o equivalente, con cualquier acomodo).

Solución.

x = -\frac{b}{a}

Receta general (cuando la ecuación es más enredada):

Eliminar paréntesis (distributiva).
Eliminar fracciones (multiplicar por mínimo común denominador).
Mover los términos con $x$ a un lado, los constantes al otro.
Reducir términos semejantes.
Despejar $x$ .

Ejemplo 1. $3(x - 4) + 2 = 5x - 14$ .

Distribuyo: $3x - 12 + 2 = 5x - 14 \Rightarrow 3x - 10 = 5x - 14$ .

Muevo: $-2x = -4 \Rightarrow x = 2$ .

Verificación: $3(2 - 4) + 2 = -6 + 2 = -4$ . $5(2) - 14 = -4$ . ✓

Siempre verificá sustituyendo. Te ahorra horas en exámenes mal hechos.

Ejemplo 2 — con fracciones. $\frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{6} = \frac{1}{2}$ .

Multiplicamos todo por 6 (mcm): $2x - (2x - 1) = 3 \Rightarrow 2x - 2x + 1 = 3 \Rightarrow 1 = 3$ .

¡Falso! La ecuación no tiene solución.

Casos extraños.

$0 \cdot x = 5$ → no hay $x$ que funcione. Sin solución ( $\emptyset$ ).
$0 \cdot x = 0$ → cualquier $x$ funciona. Infinitas soluciones (todo $\mathbb{R}$ ).

Estos casos aparecen cuando la "ecuación" es realmente una identidad o una contradicción disfrazada.

2.3 Sistemas 2×2 — métodos clásicos

📐 Fundamento

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

Tres métodos para resolverlos:

Método 1: sustitución

Despejá una incógnita en una ecuación.
Sustituí en la otra.
Resolvé la ecuación lineal resultante.
Volvé y obtené la otra incógnita.

Ejemplo. $\begin{cases} x + y = 7 \ 2x - y = 5 \end{cases}$ .

De la primera: $y = 7 - x$ . Sustituyo en la segunda: $2x - (7 - x) = 5 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ . Entonces $y = 3$ .

Método 2: igualación

Despejá la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Igualá las dos expresiones.
Resolvé.

Mismo ejemplo: $y = 7 - x$ y $y = 2x - 5$ . Igualo: $7 - x = 2x - 5 \Rightarrow 12 = 3x \Rightarrow x = 4$ .

Método 3: reducción (eliminación)

Multiplicá las ecuaciones para que los coeficientes de una incógnita queden opuestos.
Sumalas — esa incógnita se cancela.
Resolvé.

Mismo ejemplo: la primera ya tiene $+y$ , la segunda $-y$ . Sumando directamente: $3x = 12 \Rightarrow x = 4$ , etc.

¿Cuál usar? Reducción suele ser el más rápido cuando los coeficientes son enteros pequeños. Sustitución funciona siempre. Igualación es cómoda cuando ya tenés algo despejado.

Casos especiales:

Tipo	Geometría	Solución
Compatible determinado	Las dos rectas se cortan en un punto	Una solución única
Incompatible	Rectas paralelas	Sin solución ( $\emptyset$ )
Compatible indeterminado	Las dos ecuaciones son la misma	Infinitas soluciones

Cómo detectarlos. Si al resolver llegás a:

$0 = 5$ (algo falso): sin solución.
$0 = 0$ (siempre cierto): infinitas soluciones.

Ejemplo de paralelas. $\begin{cases} 2x + y = 3 \ 4x + 2y = 7 \end{cases}$ .

Multiplico primera por 2: $4x + 2y = 6$ . Resto la segunda: $0 = -1$ . Sin solución.

2.4 Modelado: del lenguaje a la ecuación

🛠️ En la práctica

El paso más difícil de los problemas de matemática no es el álgebra, sino traducir el enunciado a ecuaciones. Receta:

Identificá las cantidades desconocidas. Asignales letras claras: $x =$ "edad de Juan", no " $x$ " a secas.
Identificá las relaciones entre ellas. "Juan es el doble de María" → $J = 2M$ .
Identificá la condición numérica. "Sus edades suman 30" → $J + M = 30$ .
Resolvé el sistema.
Verificá que la respuesta tiene sentido (edades positivas, enteras si corresponde).

Ejemplo 1: edades. Juan tiene el doble de la edad de María. Hace 5 años, Juan tenía el triple. ¿Cuántos años tienen?

Sea $J$ la edad de Juan, $M$ la de María.

$J = 2M$ .
Hace 5 años: $J - 5 = 3(M - 5)$ .

Sustituyo: $2M - 5 = 3M - 15 \Rightarrow M = 10$ , $J = 20$ .

Verificación: hace 5 años, Juan tenía 15, María 5. ¿ $15 = 3 \cdot 5$ ? ✓

Ejemplo 2: precios y mezclas. Una pupusería vende pupusas de queso a $0.50 y revueltas a $0.60. En un día vendieron 200 pupusas y recaudaron $110. ¿Cuántas de cada tipo?

Sea $q$ el número de queso, $r$ las revueltas.

$q + r = 200$
$0.50 q + 0.60 r = 110$

De la primera, $q = 200 - r$ . Sustituyo: $0.50(200 - r) + 0.60r = 110 \Rightarrow 100 + 0.10 r = 110 \Rightarrow r = 100$ . Entonces $q = 100$ .

Vendieron 100 de cada tipo.

Ejemplo 3: distancia, velocidad y tiempo. Un microbús sale de San Miguel a 60 km/h. Dos horas después sale otro a 90 km/h por el mismo camino. ¿Cuándo lo alcanza?

Sea $t$ el tiempo desde que salió el segundo. El primero ya lleva $t + 2$ horas.

Distancia recorrida por el primero: $60(t+2)$ .
Distancia del segundo: $90 t$ .

Lo alcanza cuando van iguales: $90 t = 60(t + 2) \Rightarrow 30 t = 120 \Rightarrow t = 4$ horas.

A las 4 horas (después de la salida del segundo) están en el mismo punto, a $90 \cdot 4 = 360$ km del origen.

2.5 Desigualdades lineales con dos variables

Aunque más teórico, vale tenerlo:

2x + 3y \leq 12

representa una región del plano (un semiplano: la recta $2x + 3y = 12$ divide el plano en dos). La solución es uno de los lados.

Cómo decidir cuál lado. Probá un punto fácil (como el origen $(0,0)$ ). Si satisface la desigualdad, ese semiplano es la solución; si no, el otro.

Sistemas de desigualdades lineales definen polígonos convexos. Esto es la base de la programación lineal que ves en Investigación de Operaciones.

2.6 Ejercicios

✏️ Ejercicio 2.1 — Lineales básicas

Resolvé:

a. $4x + 3 = 19$ b. $2(x - 5) = 3x + 1$ c. $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ d. $5(x - 1) - 2(x + 3) = 4(x - 2)$

✏️ Ejercicio 2.2 — Sistemas

Resolvé los sistemas:

a. $\begin{cases} 2x + y = 7 \ x - y = 2 \end{cases}$

b. $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \ 6x - 4y = 9 \end{cases}$

c. $\begin{cases} x + 2y = 6 \ 2x + 4y = 12 \end{cases}$

✏️ Ejercicio 2.3 — Edades

Carmen tiene 8 años más que su hijo. Dentro de 12 años, Carmen tendrá el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno hoy?

✏️ Ejercicio 2.4 — Mezcla

Tenés dos tipos de café: uno cuesta $8/lb y otro $12/lb. Querés mezclarlos para producir 50 libras a $10/lb. ¿Cuánto de cada uno usás?

✏️ Ejercicio 2.5 — Velocidad y tiempo

Dos buses salen al mismo tiempo desde San Miguel y San Salvador (una distancia de 138 km), uno hacia el otro. El primero va a 50 km/h, el segundo a 65 km/h. ¿En cuánto tiempo se cruzan? ¿A qué distancia de San Miguel?

2.7 Para profundizar

Stewart, Pre-Cálculo, capítulo sobre ecuaciones y sistemas.
Khan Academy: "Sistemas de ecuaciones lineales".
Próximo capítulo: Funciones — el concepto que vertebra toda la matemática moderna.

Definiciones nuevas: ecuación lineal, sistema 2×2, sustitución, igualación, reducción, sistema compatible determinado, incompatible, compatible indeterminado, modelado.

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