Los números reales

"Dios creó los enteros; el resto es obra del hombre." — Leopold Kronecker.

Qué vas a aprender en este capítulo

Antes de hacer cálculo, álgebra avanzada o programación, necesitás manejar con seguridad el sistema numérico sobre el que todo se construye. Vas a repasar los conjuntos clásicos ( $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ), las propiedades de la suma y el producto, valor absoluto, intervalos, potencias y raíces. Es repaso, sí — pero hacerlo bien ahora te ahorra dolor el resto de la carrera.

1.1 La idea: los reales como una recta

💡 Intuición

Pintate una recta horizontal infinita. Marcá un punto y llamale 0 (el origen). Marcá otro punto a la derecha y llamale 1. Ahora cada punto de esa recta corresponde a un número real: positivos a la derecha del 0, negativos a la izquierda.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ se identifica con la recta numérica. A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real, y viceversa.

Eso parece tonto, pero esconde una sutileza enorme: hay puntos de la recta que no se pueden expresar como fracción. Por ejemplo, $\sqrt{2}$ — la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es un número concreto pero no es ninguna fracción $p/q$ . Esos números "irracionales" llenan todos los huecos que dejan los racionales.

Los reales son la unión de racionales (fracciones) e irracionales (los huecos). Juntos forman una recta sin agujeros — un continuo.

1.2 Los conjuntos clásicos

📐 Fundamento

Conjunto	Símbolo	Elementos
Naturales	$\mathbb{N}$	$0, 1, 2, 3, \ldots$ (en algunos libros, sin el 0)
Enteros	$\mathbb{Z}$	$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Racionales	$\mathbb{Q}$	Fracciones $p/q$ , con $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \neq 0$
Irracionales	$\mathbb{I}$	Reales que NO son racionales (ej: $\sqrt{2}, \pi, e$
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>,π,e)
Reales	$\mathbb{R}$	Unión de racionales e irracionales

Inclusiones: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Decimales y racionales. Un número es racional ⇔ su expansión decimal es finita o periódica:

$1/4 = 0.25$ (finita).
$1/3 = 0.333\ldots$ (periódica, período 3).
$1/7 = 0.142857142857\ldots$ (período 142857).

Un irracional tiene expansión decimal infinita y no periódica:

$\pi = 3.14159265358979\ldots$
$\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$
$e = 2.71828182\ldots$

Demostración famosa: $\sqrt{2}$ es irracional. Por contradicción. Supongamos $\sqrt{2} = p/q$ con la fracción simplificada al máximo (sin factores comunes). Elevando: $2 = p^2/q^2 \Rightarrow p^2 = 2 q^2$ . Esto significa que $p^2$ es par, así que $p$ es par. Escribimos $p = 2k$ . Entonces $4 k^2 = 2 q^2 \Rightarrow q^2 = 2 k^2$ , así que $q^2$ es par y $q$ es par. Pero entonces $p$ y $q$ tienen factor común 2 — contradicción con que la fracción estaba simplificada. Por tanto, no existen $p, q$ tales que $\sqrt{2} = p/q$ .

Ese argumento (~500 a.C., probablemente pitagórico) destruyó la creencia griega de que "todo número es razonable" (es decir, fracción). Por mucho tiempo lo mantuvieron en secreto.

1.3 Propiedades de las operaciones

📐 Fundamento

Para $a, b, c \in \mathbb{R}$ :

Suma:

Propiedad	Fórmula
Conmutativa	$a + b = b + a$
Asociativa	$(a + b) + c = a + (b + c)$
Elemento neutro	$a + 0 = a$
Elemento opuesto	$a + (-a) = 0$

Multiplicación:

Propiedad	Fórmula
Conmutativa	$a \cdot b = b \cdot a$
Asociativa	$(a b) c = a (b c)$
Elemento neutro	$a \cdot 1 = a$
Inverso multiplicativo	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (para $a \neq 0$ )

Distributiva (la que une las dos):

a(b + c) = a b + a c

Es la propiedad mas usada del álgebra. Cuando "expandís" o "sacás factor común", estás usando distributiva.

Cero y signos:

$a \cdot 0 = 0$ (siempre).
$-(-a) = a$ .
$(-a)(b) = -(ab)$ .
$(-a)(-b) = ab$ .
Si $ab = 0$ , entonces $a = 0$ o $b = 0$ (propiedad fundamental — clave para resolver ecuaciones por factorización).

División por cero — la prohibición. $a/0$ no está definido. Nunca. Si en una cuenta llegás a dividir por algo que vale cero, algo está mal — probablemente perdiste un caso al despejar. Esa es una fuente recurrente de errores en exámenes.

1.4 Orden, intervalos y desigualdades

📐 Fundamento

En $\mathbb{R}$ existe un orden $<$ . Algunas propiedades:

Si $a < b$ y $c \in \mathbb{R}$ , entonces $a + c < b + c$ .
Si $a < b$ y $c > 0$ , entonces $ac < bc$ .
Si $a < b$ y $c < 0$ , entonces $ac > bc$ (¡el sentido se invierte!).

Trampa #1 del cap. Multiplicar una desigualdad por un negativo invierte la desigualdad:

x > 5 \quad \xrightarrow{\cdot (-2)} \quad -2x < -10

Si te olvidás de invertir, todo el problema queda mal.

Intervalos. Subconjuntos importantes de $\mathbb{R}$ :

Notación	Definición	Interpretación
$[a, b]$	${x : a \leq x \leq b}$	cerrado: incluye extremos
$(a, b)$	${x : a < x < b}$	abierto: excluye extremos
$[a, b)$	${x : a \leq x < b}$	semicerrado
$(a, \infty)$	${x : x > a}$	infinito a la derecha
$(-\infty, b]$	${x : x \leq b}$	infinito a la izquierda
$(-\infty, \infty)$	todo $\mathbb{R}$	la recta entera

Convención: paréntesis () para extremos NO incluidos, corchetes [] para los SÍ. El infinito $\infty$ siempre lleva paréntesis porque no es un número que se pueda "alcanzar".

Resolviendo desigualdades. Dos pasos:

Despejá usando reglas (cambiá de signo si multiplicás por negativo).
Expresá la solución en notación de intervalo.

Ejemplo. $-3x + 5 \leq 11$ .

$-3x \leq 6 \Rightarrow x \geq -2$ (dividí por $-3$ negativo, invertí).

Solución: $x \in [-2, \infty)$ .

1.5 Valor absoluto

📐 Fundamento

Definición.

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

En palabras: el valor absoluto mata el signo. $|5| = 5$ , $|-7| = 7$ , $|0| = 0$ .

Interpretación geométrica. $|x|$ es la distancia de $x$ al origen en la recta numérica. $|x - a|$ es la distancia de $x$ a $a$ .

Propiedades:

$|x| \geq 0$ siempre.
$|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
$|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ .
$|x/y| = |x|/|y|$ (con $y \neq 0$ ).
Desigualdad triangular: $|x + y| \leq |x| + |y|$ .
$|x|^2 = x^2$ .

Desigualdades con valor absoluto — la fuente eterna de errores:

Desigualdad	Equivale a
$∣ x ∣ < a$	x
$∣ x ∣ > a$	x
$∣ x ∣ = a$	x

Ejemplo. Resolver

|x - 3| < 5

Equivale a $-5 < x - 3 < 5$ , sumando 3: $-2 < x < 8$ . Solución: $(-2, 8)$ .

Ejemplo. Resolver $|2x + 1| \geq 7$ .

Equivale a $2x + 1 \leq -7$ o $2x + 1 \geq 7$ . Despejando: $x \leq -4$ o $x \geq 3$ . Solución: $(-\infty, -4] \cup [3, \infty)$ .

1.6 Potencias y raíces

📐 Fundamento

Definición de potencia entera positiva:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ veces}}

Potencias cero y negativa:

$a^0 = 1$ (con $a \neq 0$ ). $0^0$ es indeterminado.
$a^{-n} = 1/a^n$ .

Leyes de los exponentes (memorizá):

Ley	Fórmula
Producto	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Cociente	$a^m / a^n = a^{m-n}$
Potencia de potencia	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Producto a potencia	$(ab)^n = a^n b^n$
Cociente a potencia	$(a/b)^n = a^n / b^n$

Trampas comunes:

$a^m + a^n \neq a^{m+n}$ . Las leyes son para PRODUCTO, no suma.
$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Lo correcto: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Raíces como exponentes fraccionarios.

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

Y combinando: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$ .

Reglas para raíces:

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (con $a, b \geq 0$ ).
$\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$ (con $a \geq 0, b > 0$ ).
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . ¡Esta es trampa MUY común!
$\sqrt{a^2} = |a|$ . (No simplemente $a$ — si $a$ es negativo, hay que poner valor absoluto.)

Notación científica. Para números muy grandes o muy pequeños:

1{,}500{,}000 = 1.5 \times 10^6

0.000023 = 2.3 \times 10^{-5}

Los exponentes se suman al multiplicar: $(2 \times 10^3)(3 \times 10^4) = 6 \times 10^7$ .

⚠️ Trampa común

Errores algebraicos de bachillerato que matan en cálculo:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ❌. Correcto: $a^2 + 2ab + b^2$ .
$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ ❌. Casi nunca se simplifica así.
$\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$ ✓ (sí se puede). $\frac{a}{a + b} = 1 + \frac{a}{b}$ ❌ (no se puede).
$\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ❌. Casi nunca.
$\log(a + b) = \log a + \log b$ ❌. Lo cierto es $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$ .

Si te encontrás haciendo cualquiera de estas "simplificaciones", retrocedé y verificá con valores concretos. Por ejemplo, $a = 3, b = 4$ : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$ .

Esa prueba con números te salva muchísimas veces. Se llama el "método de los pequeños números" y es un debugging matemático muy efectivo.

1.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 1.1 — Clasificar números

Para cada número, decí a qué conjuntos pertenece ( $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ):

a. $7$ b. $-3.2$ c. $\sqrt{9}$ d. $\sqrt{10}$ e. $0$ f. $\pi/2$

✏️ Ejercicio 1.2 — Desigualdades

Resolvé y expresá en notación de intervalo:

a. $3x - 7 < 8$ b. $-2x + 5 \geq 11$ c. $\frac{x - 1}{2} > \frac{x + 3}{4}$

✏️ Ejercicio 1.3 — Valor absoluto

Resolvé:

a. $|x| = 7$ b. $|x - 4| < 3$ c. $|2x + 1| \geq 5$

✏️ Ejercicio 1.4 — Leyes de exponentes

Simplificá:

a. $\frac{x^7 \cdot x^{-3}}{x^2}$ b. $(2 a^3 b^{-1})^2$ c. $\frac{(x^2)^3 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$ d. $\sqrt[3]{27 a^6}$

✏️ Ejercicio 1.5 — Trampas

Decí si cada igualdad es verdadera o falsa. Para las falsas, dá un contraejemplo.

a. $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ b. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ c. $\log(a + b) = \log a + \log b$ d. $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ e. $\sqrt[3]{a + b} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$

1.8 Para profundizar

Stewart, Pre-Cálculo (o equivalente). Tiene los repasos clásicos de álgebra.
Khan Academy, sección de "Aritmética" y "Álgebra básica" — interactivo, en español, gratis.
Próximo capítulo: Ecuaciones lineales y sistemas — del manejo numérico al manejo algebraico.

Definiciones nuevas: número natural, entero, racional, irracional, real, intervalo, valor absoluto, desigualdad triangular, ley de exponentes, notación científica.

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