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Funciones trigonométricas

"La trigonometría es la ciencia de medir indirectamente — determinar distancias que nunca podrías medir directamente."

Qué vas a aprender en este capítulo

La trigonometría aparece en casi todo: física (descomposición de fuerzas), señales de audio y radio (seno y coseno son las ondas fundamentales), gráficos 3D en videojuegos (rotaciones), navegación GPS. Vas a aprender las funciones trigonométricas desde el círculo unitario, los ángulos especiales clave, sus gráficas y cómo aplicarlas a triángulos rectángulos — que es la aplicación más directa en física e ingeniería.

5.1 Ángulos y su medida

💡 Intuición

Un ángulo es simplemente la abertura entre dos rayos que parten del mismo punto. Lo medís en grados (lo que ya conocés) o en radianes (lo que vas a usar en cálculo y física).

¿Por qué radianes? Porque en cálculo, las derivadas de seno y coseno tienen una forma limpia solo si el ángulo está en radianes. Si usás grados, aparecen factores feos de conversión por todas partes.

La conversión es fija: media vuelta completa =180°=π= 180° = \pi radianes.

📐 Fundamento

Radian: El ángulo cuyo arco mide exactamente el radio del círculo.

En un círculo de radio rr, el ángulo θ\theta en radianes satisface:

θ=longitud de arcoradio=sr\theta = \frac{\text{longitud de arco}}{\text{radio}} = \frac{s}{r}

Una vuelta completa =2π= 2\pi radianes =360°= 360°.

Conversión:

θrad=θgrados×π180\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grados}} \times \frac{\pi}{180}
θgrados=θrad×180π\theta_{\text{grados}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}

Ángulos especiales a memorizar:

Grados Radianes
0°0° 00
30°30° π/6\pi/6
45°45° π/4\pi/4
60°60° π/3\pi/3
90°90° π/2\pi/2
180°180° π\pi
270°270° 3π/23\pi/2
360°360° 2π2\pi

🛠️ En la práctica

Convertir 135°135° a radianes:

135×π180=135π180=3π4135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}

Convertir 5π6\frac{5\pi}{6} a grados:

5π6×180π=5×1806=150°\frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{6} = 150°

Longitud de arco: En un círculo de radio 10 cm, el ángulo de π/3\pi/3 rad corresponde a arco s=rθ=10⋅π3≈10.47s = r\theta = 10 \cdot \frac{\pi}{3} \approx 10.47 cm.

5.2 El círculo unitario y las funciones trigonométricas

💡 Intuición

Tomá un círculo de radio 1 centrado en el origen. Partí de (1,0)(1, 0) y avanzá un ángulo θ\theta en sentido antihorario. Llegás a un punto (x,y)(x, y) en el borde del círculo.

Definición usando el círculo unitario:

  • Coseno de θ\theta = la coordenada xx de ese punto: cos⁡θ=x\cos\theta = x
  • Seno de θ\theta = la coordenada yy: sin⁡θ=y\sin\theta = y
  • Tangente = la "pendiente" de esa dirección: tan⁡θ=y/x\tan\theta = y/x

¿Por qué es elegante? Porque funciona para cualquier ángulo, no solo para los agudos de un triángulo rectángulo. Si el ángulo es de 150°150°, el punto está en el segundo cuadrante, x<0x < 0, y>0y > 0, y cos⁡(150°)<0\cos(150°) < 0, sin⁡(150°)>0\sin(150°) > 0. Perfecto.

📐 Fundamento

Sea (x,y)(x, y) el punto en el círculo unitario correspondiente al ángulo θ\theta:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y,tan⁡θ=yx  (x≠0)\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \neq 0)

Valores de ángulos especiales:

θ\theta cos⁡θ\cos\theta sin⁡θ\sin\theta tan⁡θ\tan\theta
00 11 00 00
π/6\pi/6 32\frac{\sqrt{3}}{2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​​ 12\frac{1}{2} 13\frac{1}{\sqrt{3}}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​1​
π/4\pi/4 22\frac{\sqrt{2}}{2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​​ 22\frac{\sqrt{2}}{2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​​ 11
π/3\pi/3 12\frac{1}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​​ 3\sqrt{3}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​
π/2\pi/2 00 11 indefinida
π\pi −1-1 00 00
3π/23\pi/2 00 −1-1 indefinida

Signo por cuadrante:

Cuadrante cos⁡\cos sin⁡\sin tan⁡\tan
I (00 a π/2\pi/2) ++ ++ ++
II (π/2\pi/2 a π\pi) −- ++ −-
III (π\pi a 3π/23\pi/2) −- −- ++
IV (3π/23\pi/2 a 2π2\pi) ++ −- −-

Mnemónico (el que funcione para vos): "Todos Son Corrientes Tacaños" → Todos positivos (I), Solo seno (II), Coseno (III)... o simplemente memorizá el círculo.

🛠️ En la práctica

Truco para ángulos especiales. Los valores de seno en el primer cuadrante siguen la secuencia:

sin⁡0°,sin⁡30°,sin⁡45°,sin⁡60°,sin⁡90°=02,12,22,32,42\sin 0°, \sin 30°, \sin 45°, \sin 60°, \sin 90° = \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

El coseno hace lo mismo pero al revés.

Ángulo de referencia. Para un ángulo en cualquier cuadrante, encontrá el ángulo agudo equivalente en el primer cuadrante, calculá ahí y ajustá el signo:

sin⁡(150°)=sin⁡(180°−30°)\sin(150°) = \sin(180° - 30°). Referencia: 30°30°. En cuadrante II, seno es positivo. sin⁡(150°)=+sin⁡(30°)=1/2\sin(150°) = +\sin(30°) = 1/2.

cos⁡(225°)=cos⁡(180°+45°)\cos(225°) = \cos(180° + 45°). Referencia: 45°45°. En cuadrante III, coseno es negativo. cos⁡(225°)=−cos⁡(45°)=−22\cos(225°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

5.3 Identidades trigonométricas fundamentales

📐 Fundamento

Estas identidades se derivan directamente del círculo unitario y son siempre válidas para cualquier θ\theta (donde estén definidas):

Identidad pitagórica principal:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

(Se deriva de que x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 en el círculo unitario.)

Derivadas de la pitagórica:

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Razones:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

Simetría:

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ(funcioˊn impar)\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad \text{(función impar)}
cos⁡(−θ)=cos⁡θ(funcioˊn par)\cos(-\theta) = \cos\theta \quad \text{(función par)}

🛠️ En la práctica

Uso de la identidad pitagórica. Si sin⁡θ=3/5\sin\theta = 3/5 y θ\theta está en el primer cuadrante, encontrá cos⁡θ\cos\theta:

cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−925=1625⇒cos⁡θ=45\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos\theta = \frac{4}{5}

(Positivo porque θ\theta en primer cuadrante.)

Simplificación. Simplificá sin⁡2θ1−cos⁡2θ\frac{\sin^2\theta}{1 - \cos^2\theta}:

sin⁡2θ1−cos⁡2θ=sin⁡2θsin⁡2θ=1\frac{\sin^2\theta}{1 - \cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = 1

(Usamos sin⁡2θ+cos⁡2θ=1⇒1−cos⁡2θ=sin⁡2θ\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta.)

5.4 Gráficas de las funciones trigonométricas

💡 Intuición

Cuando graficás y=sin⁡θy = \sin\theta con θ\theta en el eje horizontal, obtenés una onda que sube y baja entre −1-1 y 11, repitiéndose cada 2π2\pi. Eso es exactamente cómo vibra una cuerda de guitarra, cómo oscila una señal de radio, cómo varía la luz de una lámpara LED.

El coseno tiene la misma forma, pero desplazada: cos⁡θ=sin⁡(θ+π/2)\cos\theta = \sin(\theta + \pi/2).

La tangente es diferente: tiene discontinuidades (saltos al infinito) cada π\pi radianes.

📐 Fundamento

Función seno y=sin⁡xy = \sin x:

  • Dominio: R\mathbb{R}
  • Rango: [−1,1][-1, 1]
  • Período: 2π2\pi (se repite cada 2π2\pi)
  • Cruza el eje en x=0,±π,±2π,…x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \ldots
  • Máximos en x=π/2+2kπx = \pi/2 + 2k\pi; mínimos en x=−π/2+2kπx = -\pi/2 + 2k\pi

Función coseno y=cos⁡xy = \cos x:

  • Dominio: R\mathbb{R}, Rango: [−1,1][-1, 1], Período: 2π2\pi
  • Cruza el eje en x=±π/2,±3π/2,…x = \pm\pi/2, \pm 3\pi/2, \ldots

Función tangente y=tan⁡xy = \tan x:

  • Dominio: R\mathbb{R} menos {π/2+kπ}{\pi/2 + k\pi}
  • Rango: R\mathbb{R}
  • Período: π\pi
  • Asíntotas verticales en x=±π/2,±3π/2,…x = \pm\pi/2, \pm 3\pi/2, \ldots

Transformaciones. Para y=Asin⁡(Bx+C)+Dy = A\sin(Bx + C) + D:

  • ∣A∣|A|: amplitud (qué tan alto sube y baja)
  • 2π/B2\pi/B: período (qué tan seguido se repite)
  • −C/B-C/B: desplazamiento horizontal (phase shift)
  • DD: desplazamiento vertical

🛠️ En la práctica

Temperatura en San Miguel (hipotética, para ilustrar):

Modelamos la temperatura diaria como T(h)=15sin⁡(π12(h−14))+28T(h) = 15\sin\left(\frac{\pi}{12}(h - 14)\right) + 28, donde hh es la hora del día.

  • Amplitud =15= 15 → temperatura varía 15°C respecto al promedio.
  • B=π/12B = \pi/12 → período =2π/(π/12)=24= 2\pi / (\pi/12) = 24 horas. ✓
  • Desplazamiento: máximo cuando π12(h−14)=π/2⇒h−14=6⇒h=20\frac{\pi}{12}(h - 14) = \pi/2 \Rightarrow h - 14 = 6 \Rightarrow h = 20... hmm, las 8 pm. (En un modelo real el máximo suele ser a las 2-3 pm, ajustarías el desplazamiento.)
  • Temperatura media =28°C= 28°C.

Las funciones trigonométricas son el lenguaje de los ciclos y oscilaciones.

5.5 Trigonometría en triángulos rectángulos

💡 Intuición

El uso más directo en ingeniería: dado un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas relacionan los lados con los ángulos.

Recordá las siglas SOH-CAH-TOA:

  • Seno = Opuesto / Hipotenusa
  • Coseno = Adyacente / Hipotenusa
  • Tangente = Opuesto / Adyacente

Con estas relaciones, si conocés un ángulo y un lado, podés calcular cualquier otro lado.

📐 Fundamento

En un triángulo rectángulo con ángulo agudo θ\theta, lado opuesto aa, lado adyacente bb, hipotenusa cc:

sin⁡θ=ac,cos⁡θ=bc,tan⁡θ=ab\sin\theta = \frac{a}{c}, \qquad \cos\theta = \frac{b}{c}, \qquad \tan\theta = \frac{a}{b}

Ángulos especiales en triángulos:

Triángulo 30-60-90 (lados: 1, 3\sqrt{3}, 2):

  • sin⁡30°=1/2\sin 30° = 1/2, cos⁡30°=3/2\cos 30° = \sqrt{3}/2, tan⁡30°=1/3\tan 30° = 1/\sqrt{3}
  • sin⁡60°=3/2\sin 60° = \sqrt{3}/2, cos⁡60°=1/2\cos 60° = 1/2, tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3}

Triángulo 45-45-90 (lados: 1, 1, 2\sqrt{2}):

  • sin⁡45°=cos⁡45°=2/2\sin 45° = \cos 45° = \sqrt{2}/2, tan⁡45°=1\tan 45° = 1

Problemas de ángulos:

  • Ángulo de elevación: ángulo formado mirando hacia arriba desde la horizontal.
  • Ángulo de depresión: ángulo formado mirando hacia abajo desde la horizontal.

🛠️ En la práctica

Altura de un edificio.

Un topógrafo a 50 m de la base de un edificio mide un ángulo de elevación de 32°32°. ¿Cuál es la altura del edificio?

tan⁡(32°)=h50⇒h=50⋅tan⁡(32°)≈50×0.625=31.25 m\tan(32°) = \frac{h}{50} \Rightarrow h = 50 \cdot \tan(32°) \approx 50 \times 0.625 = 31.25 \text{ m}

Cable de antena.

Una antena de 20 m necesita un cable de soporte que forma un ángulo de 60°60° con el suelo. ¿Cuánto mide el cable?

sin⁡(60°)=20c⇒c=20sin⁡(60°)=203/2=403≈23.1 m\sin(60°) = \frac{20}{c} \Rightarrow c = \frac{20}{\sin(60°)} = \frac{20}{\sqrt{3}/2} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.1 \text{ m}

Relación con física: En el capítulo de Física Mecánica, descompondrás fuerzas en componentes horizontal y vertical usando exactamente estas relaciones: Fx=Fcos⁡θF_x = F\cos\theta, Fy=Fsin⁡θF_y = F\sin\theta.

5.6 Ejercicios

✏️ Ejercicio 5.1 — Conversión de ángulos

Convertí:

a. 210°210° a radianes b. 7π4\frac{7\pi}{4} a grados c. ¿Cuántos radianes tiene un ángulo recto?

Solución

a. 210×π180=7π6210 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}

b. 7π4×180π=7×1804=315°\frac{7\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{7 \times 180}{4} = 315°

c. 90°=π290° = \frac{\pi}{2} radianes

✏️ Ejercicio 5.2 — Valores trigonométricos

Sin calculadora, calculá:

a. sin⁡(3π/4)\sin(3\pi/4) b. cos⁡(5π/6)\cos(5\pi/6) c. tan⁡(π/3)\tan(\pi/3) d. sin⁡(−π/6)\sin(-\pi/6)

Solución

a. 3π/4=135°3\pi/4 = 135°. Cuadrante II, referencia 45°45°. sin⁡(135°)=+sin⁡(45°)=22\sin(135°) = +\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

b. 5π/6=150°5\pi/6 = 150°. Cuadrante II, referencia 30°30°. cos⁡(150°)=−cos⁡(30°)=−32\cos(150°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.

c. π/3=60°\pi/3 = 60°. tan⁡(60°)=3\tan(60°) = \sqrt{3}.

d. Función impar: sin⁡(−π/6)=−sin⁡(π/6)=−12\sin(-\pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac{1}{2}.

✏️ Ejercicio 5.3 — Identidad pitagórica

Si cos⁡θ=−513\cos\theta = -\frac{5}{13} y θ\theta está en el segundo cuadrante:

a. Encontrá sin⁡θ\sin\theta. b. Encontrá tan⁡θ\tan\theta. c. Verificá que sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.

Solución

a. sin⁡2θ=1−25169=144169\sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}. Cuadrante II: seno positivo. sin⁡θ=1213\sin\theta = \frac{12}{13}.

b. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=12/13−5/13=−125\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}.

c. (1213)2+(−513)2=144+25169=169169=1\left(\frac{12}{13}\right)^2 + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144 + 25}{169} = \frac{169}{169} = 1 ✓

✏️ Ejercicio 5.4 — Triángulo rectángulo

Un camión de la aduana en la frontera El Amatillo sube por una rampa que forma un ángulo de 15°15° con el terreno plano. Si la rampa mide 80 m de largo, ¿cuánto sube verticalmente el camión?

Solución

La altura vertical hh es el lado opuesto al ángulo de 15°15°.

sin⁡(15°)=h80\sin(15°) = \frac{h}{80}

sin⁡(15°)≈0.2588\sin(15°) \approx 0.2588

h=80×0.2588≈20.7 mh = 80 \times 0.2588 \approx 20.7 \text{ m}

El camión sube aproximadamente 20.7 metros verticalmente.

✏️ Ejercicio 5.5 — Gráfica y período

Para la función f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1:

a. ¿Cuál es la amplitud? b. ¿Cuál es el período? c. ¿Cuál es el desplazamiento horizontal? d. ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de ff?

Solución

Forma: Acos⁡(Bx+C)+DA\cos(Bx + C) + D con A=3A = 3, B=2B = 2, C=−πC = -\pi, D=1D = 1.

a. Amplitud =∣A∣=3= |A| = 3.

b. Período =2πB=2π2=π= \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2} = \pi.

c. Desplazamiento horizontal =−C/B=−(−π)/2=π/2= -C/B = -(-\pi)/2 = \pi/2 hacia la derecha.

d. Máximo: D+A=1+3=4D + A = 1 + 3 = 4. Mínimo: D−A=1−3=−2D - A = 1 - 3 = -2.

5.7 Para profundizar

Definiciones nuevas: radian, círculo unitario, seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente, identidad pitagórica, amplitud, período, desplazamiento horizontal, ángulo de referencia, ángulo de elevación, ángulo de depresión.

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