Funciones

"La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo. Y el alfabeto son las funciones." — paráfrasis de Galileo + Newton.

Qué vas a aprender en este capítulo

El concepto de función es el ladrillo central de toda la matemática moderna. Cálculo entero (derivadas, integrales) trata sobre funciones. Estadística estudia funciones (distribuciones). En programación, las funciones también vienen — no por casualidad. Vas a aprender qué es una función, cómo identificar su dominio y su rango, cómo combinarlas (composición e inversa), y cómo leer sus gráficas — habilidades que vas a usar constantemente todo el resto de la carrera.

3.1 La idea: una máquina con entrada y salida

💡 Intuición

Imaginá una máquina expendedora. Le metés una moneda (entrada) y te da un refresco específico (salida). Por cada moneda, te da exactamente UN refresco. No te da dos refrescos por una moneda; tampoco te da medio refresco. Una entrada → una salida.

Una función es esa máquina, en términos abstractos:

Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto $A$ (el dominio) exactamente un elemento $f(x)$ de un conjunto $B$ (el codominio).

La parte clave: a cada entrada corresponde exactamente una salida. Si una "regla" da dos salidas distintas para la misma entrada, no es función.

Ejemplos cotidianos:

"Convertir grados Celsius a Fahrenheit": cada °C tiene un solo °F.
"Edad en años cumplidos": cada persona tiene una sola edad.
"Cuadrado de un número": cada $x$ tiene un solo $x^2$ .

No-funciones:

"Apellidos de tus profesores": un profesor puede tener varios (no es función desde profesor → apellido único).
$y = \pm\sqrt{x}$ : para $x = 4$ daría $y = +2$ y $y = -2$ — dos salidas. No es función.

Por convención escribimos $f: A \to B$ y $y = f(x)$ . Se lee " $y$ igual a $f$ de $x$ ".

📜 Historia

La idea de "función" tomó forma a lo largo de varios siglos. Newton y Leibniz, en el siglo XVII, hablaban de fluentes y cantidades — algo parecido a funciones, pero ligadas al tiempo o a curvas.

Leonhard Euler (1748) dio la primera definición moderna: "una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera por esa cantidad y por números o cantidades constantes." O sea: una fórmula.

Dirichlet (1837) dio la versión moderna: una función es cualquier asignación de un valor a otro, sin necesidad de una fórmula. Esa fue una revolución conceptual: una función podía estar definida por casos, ser discontinua, no tener fórmula limpia. Esa generalidad es la que usamos hoy.

La notación $f(x)$ la introdujo Euler en 1734. Antes la gente escribía "función de $x$ " en palabras.

3.2 Notación y vocabulario

📐 Fundamento

Notación. $f: A \to B$ , $y = f(x)$ .

$x$ es la variable independiente (entrada).
$y$ es la variable dependiente (salida).
$A$ es el dominio (todas las entradas válidas).
$B$ es el codominio.
El rango (o imagen) es el conjunto de valores que $f$ realmente alcanza: ${f(x) : x \in A} \subseteq B$ .

Ejemplo. $f(x) = x^2$ con $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Dominio: $\mathbb{R}$ .
Codominio: $\mathbb{R}$ .
Rango: $[0, \infty)$ (porque $x^2 \geq 0$ siempre).

Cómo evaluar. Sustituí en la regla:

f(x) = 2x + 3 \quad\Rightarrow\quad f(5) = 13, \; f(-1) = 1, \; f(a + 1) = 2(a+1) + 3 = 2a + 5

Cómo encontrar dominio (dado solo $f(x)$ ). Cuando se da una función con fórmula, el "dominio implícito" es el conjunto más grande de $x$ donde la fórmula tiene sentido. Reglas:

Operación que aparece	Restricción
División $\frac{1}{g(x)}$	$g(x) \neq 0$
Raíz par $\sqrt{g(x)}$
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z"/>	$g(x) \geq 0$
Logaritmo $\log g(x)$	$g(x) > 0$
Tangente $\tan g(x)$	$g(x) \neq \pi/2 + k\pi$

Ejemplos:

$f(x) = \frac{1}{x - 3}$ : dominio $\mathbb{R} \setminus {3}$ o $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ .
$f(x) = \sqrt{x - 5}$ : dominio $[5, \infty)$ .
$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$ : dominio $[0, 4) \cup (4, \infty)$ .

3.3 Gráfica de una función

📐 Fundamento

La gráfica de $f$ es el conjunto de puntos $(x, f(x))$ del plano cartesiano:

\text{Gráfica}(f) = \{(x, y) : y = f(x), x \in \text{dom}(f)\}

Test de la recta vertical. Una curva del plano es la gráfica de una función ⇔ toda recta vertical la corta a lo sumo en un punto. Si una vertical la cruzara dos veces, esa $x$ tendría dos $y$ — viola la definición.

Funciones básicas (memorizá sus gráficas):

Función	Forma de la gráfica
$f(x) = c$	Recta horizontal a altura $c$
$f(x) = mx + b$	Recta de pendiente $m$ , ordenada $b$
$f(x) = x^2$	Parábola, vértice en origen, abre hacia arriba
$f(x) = x^3$	Cúbica, simétrica respecto al origen
$f(x) = \sqrt{x}$
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>	Media parábola "tumbada" hacia la derecha
$f(x) = 1/x$	Hipérbola con asíntotas en los ejes
$f(x) =$	x
$f(x) = e^x$	Curva exponencial creciente
$f(x) = \ln x$	Crece despacio, asíntota vertical en $x = 0$

Características que mirar:

Intersección con eje $y$ : evaluá $f(0)$ .
Intersección con eje $x$ : resolvé $f(x) = 0$ .
Crecimiento/decrecimiento: ¿sube o baja a medida que $x$ aumenta?
Asíntotas: ¿hay rectas a las que la curva se acerca pero no toca?
Simetrías:
- Par si $f(-x) = f(x)$ — simétrica respecto al eje $y$ (ej: $x^2$ ).
- Impar si $f(-x) = -f(x)$ — simétrica respecto al origen (ej: $x^3$ ).

3.4 Composición de funciones

📐 Fundamento

Definición. Dadas $f$ y $g$ , la composición $f \circ g$ es:

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Aplicá $g$ primero, después $f$ al resultado.

Cuidado con el orden. $f \circ g \neq g \circ f$ en general.

Ejemplo. $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 3$ .

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ .
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$ .

¡Distintas!

Dominio de la composición. $x$ tiene que estar en el dominio de $g$ , y además $g(x)$ tiene que estar en el dominio de $f$ .

Aplicación: ver una función complicada como composición. Esa habilidad es crucial para la regla de la cadena del cálculo. Por ejemplo:

h(x) = \sin(x^2 + 1) \;=\; (f \circ g)(x) \quad \text{con } g(x) = x^2 + 1, \; f(u) = \sin u

h(x) = \sqrt{3x - 5} \;=\; (f \circ g)(x) \quad \text{con } g(x) = 3x - 5, \; f(u) = \sqrt{u}

Practicá identificar las "capas". Es el primer paso para derivar correctamente.

3.5 Función inversa

📐 Fundamento

Idea. Si $f$ "convierte" $x$ en $y$ , la inversa $f^{-1}$ "deshace" — convierte $y$ de regreso en $x$ .

Definición formal. $f^{-1}$ es la inversa de $f$ si:

f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{y} \quad f(f^{-1}(y)) = y

¡Cuándo existe inversa! Solo si $f$ es inyectiva (uno-a-uno): cada $y$ del rango proviene de un único $x$ .

Test gráfico (línea horizontal): $f$ es inyectiva ⇔ ninguna línea horizontal corta su gráfica más de una vez.

Ejemplos:

$f(x) = 2x + 3$ es inyectiva. Su inversa: despejo $y = 2x + 3$ → $x = (y - 3)/2$ . $f^{-1}(y) = (y - 3)/2$ .
$f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$ NO es inyectiva (4 viene de 2 y de -2). No tiene inversa global.
$f(x) = x^2$ con dominio $[0, \infty)$ sí es inyectiva: $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ .

Receta para encontrar inversa:

Escribí $y = f(x)$ .
Despejá $x$ en términos de $y$ .
Intercambiá los nombres: la inversa es esa expresión con $x$ donde había $y$ .

Ejemplo. $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

$y = \frac{2x+1}{x-3} \Rightarrow y(x-3) = 2x+1 \Rightarrow xy - 3y = 2x + 1 \Rightarrow xy - 2x = 3y + 1 \Rightarrow x(y - 2) = 3y + 1 \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{y - 2}$ .

Por tanto $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ .

Verificación: $f(f^{-1}(x))$ debería dar $x$ . Probá con un valor.

Gráfica de la inversa. Es la gráfica de $f$ reflejada sobre la recta $y = x$ . Si $(a, b)$ está en $f$ , entonces $(b, a)$ está en $f^{-1}$ .

3.6 Funciones especiales

Función lineal

$f(x) = mx + b$ . Pendiente $m$ , ordenada al origen $b$ . Es la función más usada en física (cuando no hay aceleración) y economía (costos).

Función cuadrática

$f(x) = ax^2 + bx + c$ . Gráfica: parábola.

Si $a > 0$ , abre hacia arriba (tiene mínimo).
Si $a < 0$ , abre hacia abajo (tiene máximo).
Vértice: en $x = -b/(2a)$ .
Raíces (donde corta el eje $x$ ): fórmula cuadrática

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ :

$\Delta > 0$ : dos raíces reales distintas.
$\Delta = 0$ : una raíz doble.
$\Delta < 0$ : ninguna raíz real (la parábola no toca el eje $x$ ).

Función exponencial

$f(x) = a^x$ con $a > 0, a \neq 1$ . Crecimiento rápido. La estrella es $f(x) = e^x$ (base $e \approx 2.718$ ).

Propiedades:

$a^0 = 1$ , $a^1 = a$ .
$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ .
$(a^x)^y = a^{xy}$ .

Función logaritmo

Es la inversa de la exponencial: $\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$ .

$\log_{10}$ es el logaritmo decimal.
$\log_e = \ln$ es el logaritmo natural (base $e$ ).

Propiedades:

$\log(xy) = \log x + \log y$ .
$\log(x/y) = \log x - \log y$ .
$\log(x^n) = n \log x$ .
$\log_a a = 1$ .
$\log_a 1 = 0$ .

Cambio de base: $\log_a x = \log_b x / \log_b a$ .

3.7 Aplicaciones de modelado

🛠️ En la práctica

Ejemplo 1: temperatura. El convertidor Celsius → Fahrenheit:

F(C) = \frac{9}{5} C + 32

Es una función lineal. Su inversa: $C(F) = \frac{5}{9}(F - 32)$ .

Ejemplo 2: trayectoria balística. Una pelota lanzada desde el suelo a velocidad inicial $v$ y ángulo $\theta$ alcanza altura:

h(t) = v \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2

Función cuadrática del tiempo. La altura máxima está en el vértice.

Ejemplo 3: crecimiento de población. Una población que crece al $r$ % anual sigue:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

Función exponencial. Si $r = 0.02$ y $P_0 = 100{,}000$ , en 10 años: $P(10) = 100{,}000 \cdot 1.02^{10} \approx 121{,}899$ .

Ejemplo 4: decibeles. El nivel de sonido en dB:

L = 10 \log_{10}(I / I_0)

Función logarítmica. Aumentar 10 dB significa multiplicar la intensidad por 10.

Estos modelos son los pilares de aplicaciones científicas. Reconocer "qué tipo de función modela este fenómeno" es una habilidad clave.

3.8 Ejercicios

✏️ Ejercicio 3.1 — Dominios

Encontrá el dominio:

a. $f(x) = \frac{1}{x - 5}$ b. $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ c. $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 9}$ d. $f(x) = \ln(x - 1)$

✏️ Ejercicio 3.2 — Composición

Sean $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2 - 3$ . Calculá:

a. $(f \circ g)(2)$ b. $(g \circ f)(2)$ c. $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$ en general

✏️ Ejercicio 3.3 — Inversa

Encontrá la inversa de:

a. $f(x) = 3x - 7$ b. $f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$

✏️ Ejercicio 3.4 — Cuadrática

Dada $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ :

a. Encontrá el vértice. b. Encontrá las raíces (donde $f(x) = 0$ ). c. ¿Es máximo o mínimo el vértice?

✏️ Ejercicio 3.5 — Modelado

Una pupusería tiene costos fijos de $100 al día y vende cada pupusa a $0.60 con costo unitario de $0.30.

a. Escribí la función de ganancia diaria $G(x)$ donde $x$ es el número de pupusas vendidas. b. ¿Cuántas pupusas debe vender para no perder dinero (punto de equilibrio)? c. Si vende 500 pupusas, ¿cuál es la ganancia?

3.9 Cierre del libro (versión inicial)

Estos tres capítulos son el núcleo de la matemática previa al cálculo:

Sistema de los números reales.
Ecuaciones lineales y sistemas.
Funciones.

Los próximos capítulos planeados (no escritos aún): polinomios y factorización, funciones racionales, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas en detalle, sucesiones. Si una materia te exige un tema específico de Matemática I, este libro irá creciendo para cubrirlo.

3.10 Para profundizar

Stewart, Pre-Cálculo, capítulos sobre funciones.
Khan Academy — sección entera de funciones, con visualizaciones interactivas.
Próximo curso: Cálculo Diferencial — donde estas funciones se vuelven el objeto principal de estudio.

Definiciones nuevas: función, dominio, codominio, rango, variable independiente, variable dependiente, gráfica, test de la recta vertical, función par, impar, composición, función inversa, función inyectiva, función lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica.

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