Ejercicios — Matemática I

MCM(3, 6, 4) = 12. Llevá todo a doceavos.

Dos casos: $2x - 5 = 7$ o $2x - 5 = -7$.

• Caso 1: $x = 6$.
• Caso 2: $x = -1$.

Verificación: $|2(6)-5| = 7$ ✓, $|2(-1)-5| = |-7| = 7$ ✓.

Multiplicar cruzado: $3(3x - 2) = 4(x + 1) \Rightarrow 9x - 6 = 4x + 4 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.

De la segunda ecuación: $y = 5x - 7$. Sustituí en la primera.

$2x + 3(5x - 7) = 13 \Rightarrow 17x - 21 = 13 \Rightarrow x = 2$. Entonces $y = 5(2) - 7 = 3$.

Sea $p$ = pupusa, $r$ = refresco.

De la 2ª: $r = 5.00 - 5p$. Sustituyendo: $3p + 2(5.00 - 5p) = 4.50 \Rightarrow 3p + 10 - 10p = 4.50 \Rightarrow -7p = -5.50 \Rightarrow p = 0.7857...$

Hmm, valores raros — chequeá tus datos. Con datos reales típicos en SV (pupusa $0.50, refresco$1.00), las ecuaciones serían $1.50 + 2.00 = 3.50$ y $2.50 + 1.00 = 3.50$. Reformulá el problema con números reales y volvé a aplicar el método.

Denominador $\neq 0 \Rightarrow x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Dominio: $\mathbb{R} \setminus {-2, 2}$ o $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.

$(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 11$. $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(7) = 49$.

Como ven, $f \circ g \neq g \circ f$: la composición no es conmutativa.

Buscá dos números que sumen $-7$ y multipliquen $12$.

$-3$ y $-4$: $-3 + (-4) = -7$, $(-3)(-4) = 12$.

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$. Las raíces son $x = 3$ y $x = 4$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Verificación: $2(9) - 15 - 3 = 0$ ✓; $2(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$ ✓.

Coeficientes: 1, -6, 11, -6. Raíz a probar: 1.

1 | 1   -6   11   -6
  |     1   -5    6
  | 1   -5    6    0

Cociente: $x^2 - 5x + 6$, residuo 0. Como el residuo es 0, $(x-1)$ es factor.

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, así que $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$.

$\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, $\tan(45°) = 1$.

Suma: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2$.

Pendiente = $\frac{1.5}{4} = 0.375 = 37.5$. No cumple la norma del 12 %.

Ángulo: $\theta = \arctan(0.375) \approx 20.6°$.

La pendiente debería ser a lo sumo 12 %, lo que da $\theta \approx 6.84°$ y altura máxima de $4 \cdot 0.12 = 0.48$ m sobre 4 m. Para subir 1.5 m con 12 % se necesitan $\frac{1.5}{0.12} = 12.5$ m de longitud horizontal.

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \Rightarrow \cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Como está en el primer cuadrante, $\cos(\theta) = \frac{4}{5}$. Entonces $\tan(\theta) = \frac{\sin}{\cos} = \frac{3}{4}$.

(Es el clásico triángulo 3-4-5.)

$P(t) = 100 \cdot 2^{t/10}$.

$P(30) = 100 \cdot 2^3 = 800$.

$4P = P \cdot 1.08^t \Rightarrow 1.08^t = 4 \Rightarrow t = \frac{\ln 4}{\ln 1.08} \approx \frac{1.386}{0.0770} \approx 18$ años.

Tip rápido (regla del 72): años para duplicar $\approx \frac{72}{r$. Para cuadruplicar (2 duplicaciones), $\approx 18$. ✓

$[\text{H}^+] = 10^{-3.5} \approx 3.16 \times 10^{-4}$ mol/L.

a) $C(t) = 200 \cdot 1.06^t$.

b) $C(12) = 200 \cdot 1.06^{12} \approx 200 \cdot 2.012 \approx 402$ clientes/día.

c) $600 = 200 \cdot 1.06^t \Rightarrow 3 = 1.06^t \Rightarrow t = \frac{\ln 3}{\ln 1.06} \approx 18.85$ meses (~1 año, 7 meses).

d) $500 = 200 \cdot 1.06^t \Rightarrow t = \frac{\ln 2.5}{\ln 1.06} \approx 15.7$ meses (~1 año, 4 meses).

Discusión: la realidad rara vez sigue exponencial pura por mucho tiempo. Los modelos logísticos (con saturación) son más realistas a largo plazo.