Vectores y movimiento en 2D

"Lo que sube tiene que bajar." — sabiduría popular, anónima. "Y mientras sube y baja, también va para el lado." — agregado físico.

Qué vas a aprender en este capítulo

Hasta acá movimos cosas en línea recta. La realidad — pelotas que se patean, balas que se disparan, bombas que se lanzan — vive en al menos 2 dimensiones. Vas a aprender que el movimiento 2D no es más complicado que el 1D, sino dos copias de 1D corriendo en paralelo. Esa idea — la independencia de los movimientos — es uno de los descubrimientos más bellos de Galileo.

2.1 La idea: dos movimientos al mismo tiempo

💡 Intuición

Tirás una pelota horizontalmente desde el balcón de tu casa. ¿Qué pasa?

Hacia adelante, la pelota sigue moviéndose más o menos a la velocidad con que la tiraste. Ignorando el aire, no hay nada que la frene horizontalmente.
Hacia abajo, la gravedad la jala. Empieza con velocidad vertical cero y la va acelerando hacia el piso.

Estos dos movimientos son independientes. La gravedad no afecta qué tan rápido va para adelante. La velocidad horizontal no afecta qué tan rápido cae.

El descubrimiento de Galileo (1638): un objeto en caída libre con velocidad horizontal se comporta exactamente como dos objetos: uno cayendo verticalmente desde el reposo, y otro moviéndose horizontalmente con velocidad constante. Los dos movimientos no se "interfieren".

Eso es por qué, si dos pelotas se sueltan al mismo tiempo desde la misma altura — una soltada y la otra disparada horizontalmente — llegan al piso al mismo tiempo. La pelota disparada llega más lejos, pero al mismo tiempo. Su velocidad horizontal no le ayuda ni le estorba a su caída.

Ese principio te permite resolver el movimiento 2D usando todas las herramientas del capítulo anterior: aplicás MRU al eje horizontal, MRUA al eje vertical, y pegás los resultados.

📜 Historia

Antes de Galileo, los balísticos (artilleros del siglo XVI) creían que una bala disparada de cañón seguía una línea recta mientras tenía "ímpetu", y luego caía verticalmente cuando se le acababa. La trayectoria parecía un palo de hockey: ─╲│. Eso es lo que Aristóteles había enseñado.

Galileo demostró — primero teóricamente, luego experimentalmente con pelotas en planos inclinados — que la trayectoria es una parábola. La componente horizontal del movimiento es uniforme; la vertical es uniformemente acelerada por la gravedad. Sumadas, dan una parábola.

Esto fue gigante para los militares de la época. Niccolò Tartaglia, un matemático italiano, dedicó buena parte de su carrera a hacer tablas de tiro precisas para los artilleros, basadas en estos principios. La balística moderna (corregida por resistencia del aire, viento, rotación de la Tierra) sigue siendo física newtoniana — pero el esqueleto es lo que vas a aprender en este capítulo.

2.2 Vectores: magnitud y dirección

📐 Fundamento

Cantidades escalares. Solo tienen magnitud. Un número.

Ejemplos: masa (3 kg), tiempo (15 s), temperatura (25°C), volumen, energía.

Cantidades vectoriales. Tienen magnitud Y dirección.

Ejemplos: posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza.

Decir "te empujo con 50 newtons" es incompleto — falta la dirección. ¿Te empujo a la derecha? ¿Hacia arriba? La fuerza es vector. El peso es vector. La velocidad es vector.

Notación. Un vector se denota con flecha o negrita: $\vec{v}$ o $\mathbf{v}$ . Su magnitud (un escalar siempre positivo) se denota $|\vec{v}|$ o simplemente $v$ .

Componentes. Un vector en 2D se describe por dos números — sus componentes en los ejes $x$ e $y$ :

\vec{v} = (v_x, v_y)

Si conocés magnitud y ángulo $\theta$ desde el eje $x$ positivo:

v_x = v \cos\theta \qquad v_y = v \sin\theta

Y al revés:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)

Suma de vectores. Componente a componente:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, \, a_y + b_y)

Geométricamente: poné la cola de $\vec{b}$ en la punta de $\vec{a}$ , y el resultado es de la cola de $\vec{a}$ a la punta de $\vec{b}$ . Esa es la regla del paralelogramo.

Multiplicación por escalar.

k \vec{v} = (k v_x, \, k v_y)

Multiplicar por un escalar positivo cambia la magnitud sin cambiar la dirección. Multiplicar por uno negativo invierte la dirección.

2.3 Posición, velocidad y aceleración como vectores

📐 Fundamento

En 2D, la posición del objeto en el tiempo $t$ es:

\vec{r}(t) = (x(t), \, y(t))

La velocidad es la derivada componente a componente:

\vec{v}(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \, \frac{dy}{dt} \right) = (v_x, v_y)

La aceleración, igual:

\vec{a}(t) = \left( \frac{dv_x}{dt}, \, \frac{dv_y}{dt} \right) = (a_x, a_y)

Esto es lo que te permite separar el problema: un movimiento 2D es dos movimientos 1D (uno en cada eje), corriendo simultáneamente. Las ecuaciones de cinemática 1D del capítulo anterior se aplican independientemente a cada componente.

Si la aceleración es constante (como en el tiro parabólico, donde solo actúa la gravedad):

x(t) = x_0 + v_{0x} t + \tfrac{1}{2} a_x t^2

y(t) = y_0 + v_{0y} t + \tfrac{1}{2} a_y t^2

Cada eje, su MRUA propio. Dos copias del cap. 1.

2.4 Movimiento de proyectiles

📐 Fundamento

Caso especial estrella: un objeto bajo la única acción de la gravedad — proyectil. La aceleración es $\vec{a} = (0, -g)$ donde $g \approx 9.8$ m/s² (eje $y$ hacia arriba).

En el eje $x$ : $a_x = 0 \Rightarrow$ MRU.

v_x(t) = v_{0x} \quad \text{(constante)}

x(t) = x_0 + v_{0x} t

En el eje $y$ : $a_y = -g \Rightarrow$ MRUA.

v_y(t) = v_{0y} - g t

y(t) = y_0 + v_{0y} t - \tfrac{1}{2} g t^2

Lanzamiento desde el suelo a un ángulo $\theta$ , con velocidad inicial $v_0$ .

Componentes iniciales:

v_{0x} = v_0 \cos\theta \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta

Tres cantidades clásicas:

Tiempo total de vuelo (hasta volver al suelo, $y = 0$ ):

t_{\text{vuelo}} = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}

Altura máxima (donde $v_y = 0$ , en la mitad del vuelo):

h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2 g}

Alcance horizontal (qué tan lejos llega):

R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

Observación memorable: $\sin(2\theta)$ alcanza su máximo en $\theta = 45°$ . Por eso un proyectil lanzado a 45° llega más lejos que cualquier otro ángulo (a misma velocidad inicial). Ángulos complementarios — como 30° y 60° — dan el mismo alcance, una a un ángulo bajo y rápido, otra a un ángulo alto y largo.

🛠️ En la práctica

Ejemplo 1 — El penalti.

Un futbolista patea un balón con velocidad inicial $v_0 = 25$ m/s a un ángulo de $30°$ sobre la horizontal. ¿A qué distancia cae?

Componentes:

v_{0x} = 25 \cos 30° = 25 \cdot 0.866 \approx 21.65 \text{ m/s}

v_{0y} = 25 \sin 30° = 25 \cdot 0.5 = 12.5 \text{ m/s}

Tiempo de vuelo: $t = \frac{2 \cdot 12.5}{9.8} \approx 2.55$ s.

Alcance: $R = v_{0x} \cdot t = 21.65 \cdot 2.55 \approx 55.2$ m.

Verificación con la fórmula directa: $R = \frac{25^2 \sin 60°}{9.8} = \frac{625 \cdot 0.866}{9.8} \approx 55.2$ m. ✓

Ejemplo 2 — La piedra que cae rebotando.

Soltás una piedra horizontalmente desde un acantilado de $80$ m de altura, con velocidad horizontal de $15$ m/s. ¿A qué distancia del acantilado cae?

Eje $y$ : $h(t) = 80 - 4.9 t^2$ . Cuando $h = 0$ : $t = \sqrt{80/4.9} \approx 4.04$ s.

Eje $x$ : $x(t) = 15 \cdot t$ . En el momento del impacto: $x = 15 \cdot 4.04 = 60.6$ m.

Notá que el tiempo de caída ( $4.04$ s) es el mismo que si se hubiera dejado caer sin velocidad horizontal. La velocidad horizontal solo afecta dónde cae, no cuándo. Eso es Galileo en acción.

Ejemplo 3 — Mismo alcance, distintas trayectorias.

Disparás dos proyectiles con $v_0 = 30$ m/s, uno a $30°$ y otro a $60°$ . Verificá que tienen el mismo alcance pero distintos tiempos.

Alcance: $R = \frac{30^2 \sin 60°}{9.8} = \frac{900 \cdot 0.866}{9.8} \approx 79.5$ m. (Para ambos, porque $\sin 60° = \sin 120°$ .)

Tiempo a $30°$ : $t = \frac{2 \cdot 30 \sin 30°}{9.8} = \frac{30}{9.8} \approx 3.06$ s.

Tiempo a $60°$ : $t = \frac{2 \cdot 30 \sin 60°}{9.8} \approx 5.30$ s.

El de $60°$ tarda más (sube más), pero llega al mismo lugar.

2.5 Una sutileza: aire e idealización

⚠️ Trampa común

Las fórmulas de proyectiles asumen que NO hay aire.

En la realidad hay resistencia del aire — y para objetos rápidos o livianos, la resistencia importa mucho. Un balón de fútbol pateado a 25 m/s en realidad cae menos de los 55 m teóricos del ejemplo. Una bala de cañón sí — el aire es despreciable comparado con su masa.

¿Cuándo aire importa? Regla rápida: importa cuando la fuerza de fricción del aire ( $\propto v^2$ aproximadamente) es comparable al peso. Objetos pequeños y rápidos: sí importa. Objetos grandes y densos: importa menos.

Pelota de tenis vs bola de bowling. Ambas a 25 m/s, soltadas a la misma altura: la pelota de tenis va a llegar menos lejos que la bola, porque su fricción aerodinámica es comparable a su peso. Sin aire ambas llegan al mismo punto.

En este curso despreciamos el aire — eso te da la respuesta correcta dentro del 5-10% para situaciones razonables, y te enseña la física pura. En cursos avanzados (mecánica de fluidos, balística aplicada) se reintroduce.

Otra trampa: ángulos en grados vs radianes.

Tu calculadora puede estar en cualquiera de los dos modos. $\sin 30°$ (modo grados) es $0.5$ . $\sin 30$ (modo radianes) es $-0.988$ . Asegurate del modo antes de calcular.

Convención de signos. Si elegís $y$ hacia arriba, $g$ es negativa ( $-9.8$ m/s²). Si elegís $y$ hacia abajo, $g$ es positiva ( $+9.8$ ). Sé consistente. Mezclar convenciones es la causa #1 de respuestas absurdas.

2.6 Resumen visual

Cantidad	¿Vector o escalar?	En 2D se describe por...
Masa, tiempo, energía, temperatura	escalar	Un número
Posición, velocidad, aceleración, fuerza	vector	Dos componentes (en 2D)
Magnitud de un vector	escalar	$\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
l0 -0
c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40
H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7
s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744
c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30
c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722
c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5
c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z
M1001 80h400000v40h-400000z"/>

Plan para resolver un problema de proyectiles:

Dibujá el problema. Elegí origen y ejes.
Descomponé la velocidad inicial en $v_{0x}$ y $v_{0y}$ .
Eje $x$ : MRU. Eje $y$ : MRUA con $a = -g$ .
Identificá la condición que define lo que te preguntan (¿cuándo $y = 0$ ? ¿cuándo $v_y = 0$ ?).
Resolvé en el eje correspondiente, despejá $t$ , sustituí en el otro eje.

2.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 2.1 — Suma de vectores

Sean $\vec{a} = (3, 4)$ y $\vec{b} = (-1, 2)$ .

a. Calculá $|\vec{a}|$ y $|\vec{b}|$ . b. Calculá $\vec{a} + \vec{b}$ y su magnitud. c. Calculá $2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ .

✏️ Ejercicio 2.2 — Tiro horizontal

Una piedra se lanza horizontalmente desde un acantilado de $45$ m con velocidad inicial $v_0 = 20$ m/s.

a. ¿En cuánto tiempo llega al agua? b. ¿A qué distancia horizontal del acantilado cae? c. ¿Con qué velocidad (magnitud) impacta?

✏️ Ejercicio 2.3 — Tiro inclinado

Un balón se patea con velocidad inicial $v_0 = 18$ m/s y ángulo $40°$ sobre la horizontal.

a. ¿Cuál es la altura máxima? b. ¿Cuál es el alcance horizontal? c. ¿En qué momento alcanza la altura máxima?

✏️ Ejercicio 2.4 — Pensalo

Dos pelotas se lanzan al mismo tiempo, desde la misma altura. Una se suelta sin velocidad inicial. La otra se dispara horizontalmente con velocidad de $30$ m/s. ¿Cuál llega primero al piso? Justificá.

2.8 Para profundizar

Libro: Serway & Jewett, Física para Ciencias e Ingeniería, capítulos 3 (vectores) y 4 (movimiento en 2D y 3D).
Visualización: los applets de PhET Colorado (phet.colorado.edu) tienen "Movimiento de Proyectiles" — interactivo, con resistencia del aire opcional, en español. Para entender visualmente las fórmulas.
Próximo capítulo: Las leyes de Newton — pasamos de cinemática (cómo se mueven) a dinámica (por qué se mueven). Ahí entran las fuerzas.

Definiciones nuevas en este capítulo: escalar, vector, magnitud, componentes, suma vectorial, descomposición, independencia de movimientos, proyectil, alcance, altura máxima.

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