Cantidad de movimiento e impulso

"Si querés frenar un huracán, prepará algo igualmente masivo y rápido." — moraleja de la conservación del momento.

Qué vas a aprender en este capítulo

La energía es una cantidad conservada poderosa, pero hay problemas (sobre todo colisiones) donde la energía cinética NO se conserva — gran parte se pierde como calor y deformación. Para esos casos hay otra cantidad mágica: la cantidad de movimiento (momento lineal). Vas a aprender qué es, cómo se relaciona con la fuerza a través del impulso, y por qué su conservación te permite resolver colisiones donde la energía falla.

5.1 La idea: lo que cuesta detener algo

💡 Intuición

Imaginá un mosquito y un camión, ambos a la misma velocidad. ¿Cuál te cuesta más detener? Obvio, el camión: más masa.

Imaginá ahora dos camiones idénticos, uno a 10 km/h y otro a 100 km/h. ¿Cuál es más difícil de frenar? El segundo: más velocidad.

La cantidad de movimiento $\vec{p} = m\vec{v}$ combina las dos cosas: cuánto cuesta detener un objeto. Combina inercia (masa) con velocidad.

Y aún más interesante: cuando dos objetos chocan, la suma de sus cantidades de movimiento antes y después del choque es la misma (si no hay fuerzas externas). Esa conservación es la herramienta para predecir lo que pasa después de una colisión.

Por qué importa el momento (y no solo la energía): en muchos choques se pierde energía (en calor, sonido, deformación). Pero el momento siempre se conserva. Es más universal.

📜 Historia

La idea de "cantidad de movimiento" la formuló René Descartes alrededor de 1644 — pero como escalar ( $mv$ sin signo), lo que llevaba a contradicciones. Christiaan Huygens y John Wallis corrigieron en 1668 al darse cuenta que era un vector (con dirección). Ahí encajó: en colisiones unidimensionales, las velocidades de signo opuesto se restan, no se suman.

Newton enunció su segunda ley originalmente como $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ — fuerza igual a tasa de cambio del momento. La forma $F = ma$ es un caso particular cuando la masa es constante. Hoy, en física relativista (cohetes, partículas) la versión original es la correcta — la masa sí puede cambiar.

La conservación del momento la generalizó Emmy Noether en 1915 al demostrar el teorema que lleva su nombre: cada simetría de las leyes físicas implica una cantidad conservada. La simetría espacial (las leyes son las mismas acá y allá) implica conservación del momento. Belleza pura.

5.2 Cantidad de movimiento

📐 Fundamento

Definición.

\vec{p} = m \vec{v}

$\vec{p}$ — momento lineal, en kg·m/s (no tiene nombre propio).
Es vector: tiene dirección y magnitud.

En componentes: $p_x = m v_x$ , $p_y = m v_y$ .

Segunda ley de Newton, versión original:

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}

Si $m$ es constante, $\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$ , la versión que ya conocés.

Por qué importa expresar Newton así: te permite hablar de fuerza incluso cuando la masa cambia (cohetes que expulsan combustible) o en relatividad.

5.3 Impulso

📐 Fundamento

Impulso es lo que una fuerza, actuando durante un tiempo, le hace al momento de un objeto.

\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \, dt

(o $\vec{J} = \vec{F} , \Delta t$ si la fuerza es constante).

Unidad: N·s (que equivale a kg·m/s).

Teorema impulso-momento:

\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

Aplicación clásica: por qué los airbags salvan vidas. En un choque, tu cuerpo cambia de momento $\Delta p$ (de la velocidad inicial a 0). Ese cambio es el mismo con o sin airbag.

Pero la fuerza es $F = \Delta p / \Delta t$ . Cuanto más largo el tiempo de frenado, menor la fuerza. Sin airbag, frenás en 0.01 s contra el volante. Con airbag, en 0.1 s contra una superficie elástica. La fuerza disminuye 10 veces — la diferencia entre vivir y no.

Mismo principio:

Doblar las rodillas al saltar (alarga el tiempo de frenado).
Cinturón de seguridad (lo mismo).
Pegarle a una pelota con un swing largo (alarga $\Delta t$ , transfiere más momento).
Boxeo: "rodar" con el golpe en lugar de quedar rígido.

Ejemplo numérico. Una pelota de béisbol de 0.15 kg llega al bate a 35 m/s, sale a 45 m/s en sentido opuesto. ¿Cuál es el impulso?

$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.15(45 - (-35)) = 0.15 \cdot 80 = 12$ kg·m/s.

(Notá los signos: si la pelota venía a $-35$ m/s y sale a $+45$ m/s, el cambio es $+80$ m/s. Si la fuerza media del bate dura 0.001 s, $F = 12 / 0.001 = 12{,}000$ N — una tonelada y media. Por eso el bate puede romperse.)

5.4 Conservación del momento

📐 Fundamento

Si la fuerza neta externa sobre un sistema es cero, el momento total del sistema se conserva.

\sum \vec{p}_{\text{antes}} = \sum \vec{p}_{\text{después}}

Por qué. Internamente, las fuerzas entre las partes del sistema son pares acción-reacción (tercera ley de Newton). Sumadas, dan cero. Solo las fuerzas externas cambian el momento total.

Aplicación principal: colisiones. Durante una colisión, las fuerzas internas son enormes pero externas (gravedad, fricción) son insignificantes en comparación durante el breve instante del choque. El momento del sistema se conserva.

Atención: la energía cinética no siempre se conserva.

5.5 Tipos de colisiones

📐 Fundamento

1. Colisión perfectamente elástica.

Se conservan momento y energía cinética.
Ejemplo: bolas de billar idealizadas, partículas microscópicas.
Las dos cantidades dan dos ecuaciones que permiten despejar las dos velocidades finales.

Fórmulas para choque elástico 1D entre $m_1$ (con $v_1$ ) y $m_2$ en reposo:

v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 \qquad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1

Casos especiales:

Situación	Resultado
$m_1 = m_2$	$v_1' = 0$ , $v_2' = v_1$ . Transferencia total (péndulo de Newton)
$m_1 \gg m_2$	$v_1' \approx v_1$ , $v_2' \approx 2 v_1$ . (Tren impacta auto: tren sigue, auto sale despedido al doble)
$m_1 \ll m_2$	$v_1' \approx -v_1$ , $v_2' \approx 0$ . (Pelota contra pared: rebota con misma rapidez)

2. Colisión perfectamente inelástica.

Los objetos quedan pegados después.
Se conserva el momento, se pierde energía cinética (en calor, deformación).
Ejemplo: una bala que se incrusta en un bloque, dos coches que quedan trabados.

Una sola velocidad final $v'$ para ambos cuerpos:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'

3. Colisión inelástica (general).

Los objetos se separan después, pero pierden algo de energía.
Solo se conserva el momento. La energía perdida se calcula a posteriori.

5.6 Ejemplos de conservación

🛠️ En la práctica

Ejemplo 1 — Péndulo balístico. Una bala de $m_b = 10$ g se incrusta en un bloque de madera de $M = 2$ kg que cuelga de una cuerda. Después de la colisión, el bloque (con la bala dentro) se eleva 5 cm. ¿Cuál era la velocidad inicial de la bala?

Paso 1: colisión (perfectamente inelástica).

Conservación del momento:

m_b v_b = (m_b + M) v

donde $v$ es la velocidad común inmediatamente después del choque.

Paso 2: subida (energía conservada después del choque, no hay fricción).

\frac{1}{2}(m_b + M) v^2 = (m_b + M) g h

Despejamos $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.05} = 0.99$ m/s.

Paso 3: combinar.

v_b = \frac{(m_b + M) v}{m_b} = \frac{2.01 \cdot 0.99}{0.01} \approx 199 \text{ m/s}

Truco: NO podés usar conservación de energía en la colisión (mucho calor) ni conservación del momento durante la subida (la cuerda ejerce fuerza externa). Hay que separar.

Ejemplo 2 — Retroceso. Estás en patines en hielo (sin fricción). Tirás una pelota de 1 kg horizontalmente a 5 m/s. Si tu masa es 50 kg, ¿con qué velocidad retrocedés?

Sistema inicial: en reposo. Momento total = 0.

Después de tirar la pelota:

0 = (50)v + (1)(5) \Rightarrow v = -0.1 \text{ m/s}

Retrocedés a 10 cm/s. Es así como funciona la propulsión por reacción: tirás algo en una dirección, vos vas en la otra.

Ejemplo 3 — Dos coches en choque inelástico. Un coche de 1500 kg a 20 m/s embiste por atrás a otro de 1000 kg a 10 m/s. Quedan trabados. ¿Velocidad final?

1500 \cdot 20 + 1000 \cdot 10 = (1500 + 1000) v

30{,}000 + 10{,}000 = 2500 v \Rightarrow v = 16 \text{ m/s}

¿Cuánta energía se perdió?

$K_i = \frac{1}{2}(1500)(400) + \frac{1}{2}(1000)(100) = 300{,}000 + 50{,}000 = 350{,}000$ J. $K_f = \frac{1}{2}(2500)(256) = 320{,}000$ J. Perdido: 30,000 J en deformación, calor y sonido.

5.7 Centro de masa

📐 Fundamento

Centro de masa de un sistema de partículas:

\vec{r}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}

(promedio ponderado de las posiciones).

Velocidad del centro de masa:

\vec{v}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{\sum m_i} = \frac{\vec{p}_{\text{total}}}{M_{\text{total}}}

Resultado clave: la velocidad del centro de masa es constante si no hay fuerzas externas. La cantidad total de movimiento se conserva ⇔ el centro de masa se mueve a velocidad constante.

Por qué importa. Una explosión rompe un objeto en pedazos que vuelan en todas direcciones, pero el centro de masa del conjunto sigue moviéndose como si el objeto fuera uno solo. Las complejidades internas no afectan el movimiento del "centro" del sistema.

5.8 Ejercicios

✏️ Ejercicio 5.1 — Cantidad de movimiento básico

Un coche de 1200 kg viaja a 25 m/s hacia el norte. Calculá su cantidad de movimiento.

✏️ Ejercicio 5.2 — Impulso y airbag

Un conductor de 70 kg viaja a 20 m/s. Choca de frente.

a. ¿Cuánto tiempo durará la "frenada" del conductor con airbag (0.5 s) vs. sin airbag contra el volante (0.05 s)? b. Calculá la fuerza promedio en cada caso.

✏️ Ejercicio 5.3 — Choque elástico

Una bola de 1 kg viaja a 4 m/s y choca elásticamente con una bola de 3 kg en reposo. ¿Velocidades finales?

✏️ Ejercicio 5.4 — Inelástico

Dos vagones de tren chocan y quedan unidos. El vagón A (5000 kg) a 6 m/s embiste al B (8000 kg) en reposo. Calculá:

a. Velocidad común final. b. Pérdida de energía cinética.

✏️ Ejercicio 5.5 — Cohete

Una astronauta de 60 kg está flotando en el espacio (sistema en reposo). Lleva una herramienta de 2 kg. Si tira la herramienta a 3 m/s en una dirección, ¿con qué velocidad se mueve la astronauta?

5.9 Para profundizar

Halliday & Resnick, capítulo 9.
Sears & Zemansky, capítulo sobre momento e impulso.
Aplicación a deportes: The Physics of Baseball de Robert Adair — cómo el momento e impulso explican por qué un swing largo da más home-runs.
Próximos temas (libros futuros): rotaciones (capítulo 6 o libro de Mecánica II), gravitación universal, oscilaciones.

Cierre del primer recorrido por mecánica

Los cinco capítulos cubren los pilares de la mecánica clásica:

Cinemática 1D — describir el movimiento.
Vectores y movimiento 2D — extender a un plano.
Leyes de Newton — explicar por qué se mueve.
Trabajo y energía — atajo cuando importan inicio y fin.
Cantidad de movimiento — atajo para colisiones e interacciones breves.

Con eso ya tenés las herramientas básicas para resolver casi cualquier problema de mecánica de "cuerpo rígido". El próximo paso (en otro libro, si te interesa) es rotaciones — los mismos conceptos pero alrededor de un eje, con análogos rotacionales: par, momento angular, energía rotacional. Y después: gravitación universal, oscilaciones, fluidos, termodinámica.

Definiciones nuevas: cantidad de movimiento (momento lineal), impulso, teorema impulso-momento, conservación del momento, colisión elástica, colisión inelástica, péndulo balístico, centro de masa.

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