Cinemática en una dimensión

"Si he visto más lejos, es porque estoy parado sobre los hombros de gigantes." — Isaac Newton, en una carta a Robert Hooke, 1675.

Qué vas a aprender en este capítulo

Cómo describir matemáticamente el movimiento de un objeto que va y viene en una sola línea — un coche en una carretera recta, una pelota cayendo, un ascensor. Vas a aprender el vocabulario fundamental (posición, velocidad, aceleración) y las ecuaciones del movimiento que usás durante toda la carrera. Sin causas todavía: no preguntamos por qué se mueve, solo cómo lo hace. Esa primera pregunta — el por qué — se llama dinámica y la vemos en el capítulo 3.

1.1 La idea: tres preguntas, tres respuestas

💡 Intuición

Cuando un objeto se mueve, hay tres preguntas básicas:

¿Dónde está? — la posición, que llamamos $x$ . Es un número con signo: positivo a la derecha, negativo a la izquierda, según un origen que elegimos arbitrariamente.
¿Qué tan rápido cambia su posición? — la velocidad, que llamamos $v$ . Es la derivada de la posición respecto al tiempo: $v = \frac{dx}{dt}$ . También puede ser positiva (yendo a la derecha) o negativa (yendo a la izquierda).
¿Qué tan rápido cambia su velocidad? — la aceleración, que llamamos $a$ . Es la derivada de la velocidad: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$ .

Eso es todo. Toda la cinemática 1D es jugar con esas tres cantidades y sus derivadas.

Una analogía útil: pensá en un coche manejando entre San Miguel y La Unión por la carretera. La posición te dice en qué kilómetro estás. La velocidad te dice qué tan rápido pasan los kilómetros. La aceleración te dice qué tanto está cambiando esa rapidez — si estás pisando el acelerador, frenando, o yendo parejo.

Posición → derivar → Velocidad → derivar → Aceleración

Y al revés:

Aceleración → integrar → Velocidad → integrar → Posición

Si dominás esa cadena, dominás la cinemática.

1.2 Definiciones formales

📐 Fundamento

Posición $x(t)$ : ubicación del objeto en el tiempo $t$ , medida desde un origen elegido. Unidades: metros (m).

Desplazamiento $\Delta x = x_f - x_i$ : cambio de posición entre dos instantes. No es lo mismo que distancia recorrida — el desplazamiento puede ser cero si volvés al inicio, pero la distancia no.

Velocidad media:

\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}

Es la pendiente de la recta secante en una gráfica $x$ vs $t$ . Unidades: m/s.

Velocidad instantánea: el límite de la velocidad media cuando el intervalo se hace cero:

v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}

Es la pendiente de la recta tangente en una gráfica $x$ vs $t$ — la derivada de la posición. Cuando alguien dice "velocidad" sin más, casi siempre se refiere a la instantánea.

Aceleración media:

\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

Aceleración instantánea: la derivada de la velocidad.

a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}

Unidades: m/s² (metros por segundo, por segundo — cuánto cambia la velocidad por cada segundo que pasa).

Cuidado con la palabra "rapidez": en español/inglés a veces se distingue entre velocidad (con signo, dirección) y rapidez (magnitud, siempre positiva). En cinemática 1D la diferencia es solo el signo. Un coche que va a $-30$ m/s tiene rapidez de 30 m/s pero velocidad de $-30$ m/s (yendo a la izquierda).

📜 Historia

Antes de Galileo, la creencia dominante venía de Aristóteles (siglo IV a.C.): los objetos pesados caen más rápido que los ligeros, en proporción a su peso. Eso fue doctrina aceptada durante 2000 años.

Galileo Galilei (1564-1642), trabajando en Pisa, demostró que esto era falso. La leyenda popular dice que dejó caer dos bolas de distinto peso desde la Torre de Pisa y ambas llegaron al piso al mismo tiempo. Probablemente nunca pasó así — Galileo de hecho usaba planos inclinados: hacía rodar bolas por una rampa para que el movimiento fuera más lento y medible con los instrumentos de la época (clepsidras, su propio pulso).

Sus experimentos mostraron tres cosas que rompieron con Aristóteles:

Todos los objetos caen con la misma aceleración (en ausencia de aire). Una pluma y una bola de bowling caen igual en el vacío.
La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo (no al tiempo, como creía Aristóteles).
La aceleración es constante durante la caída.

Todo lo que vamos a derivar en este capítulo sobre caída libre se basa en esos descubrimientos. Aristóteles tenía gravedad inversamente proporcional a algo. Galileo tenía $g \approx 9.8 , \text{m/s}^2$ .

En 1971, el astronauta David Scott repitió el experimento de Galileo en la Luna (vacío real, sin aire), dejando caer un martillo y una pluma. Llegaron al piso al mismo tiempo. Galileo, finalmente vindicado.

1.3 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

📐 Fundamento

MRU = velocidad constante, aceleración cero.

Si $v = v_0$ es constante, entonces la posición cambia linealmente con el tiempo:

\boxed{\, x(t) = x_0 + v_0 \, t \, }

donde $x_0$ es la posición inicial y $v_0$ la velocidad (constante).

Cómo se ve en gráficas:

$x$ vs $t$ : línea recta con pendiente $v_0$ .
$v$ vs $t$ : línea horizontal en $v = v_0$ .
$a$ vs $t$ : línea horizontal en $a = 0$ .

Es el caso más simple — y poco realista. Casi nada se mueve a velocidad genuinamente constante en el mundo real (siempre hay roce, viento, o cambios de motor). Pero es la base para entender los demás casos.

1.4 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

📐 Fundamento

MRUA = aceleración constante.

Este es el caso más útil. Caída libre, frenadas con desaceleración constante, despegues con empuje constante — todos son MRUA.

Si $a = a_0$ es constante, entonces (integrando) la velocidad cambia linealmente con el tiempo:

v(t) = v_0 + a_0 \, t

Integrando otra vez, la posición:

\boxed{\, x(t) = x_0 + v_0 \, t + \tfrac{1}{2} a_0 \, t^2 \, }

Hay una cuarta ecuación útil — relaciona velocidad y posición sin tiempo explícito:

v^2 = v_0^2 + 2 a_0 (x - x_0)

Esta cuarta sale de combinar las dos anteriores y eliminar $t$ . Útil cuando el problema te da posición y velocidad pero no el tiempo.

Las cuatro ecuaciones del MRUA — para tener pegadas en la pared:

Ecuación	Cuándo usarla
$v = v_0 + at$	Conocés tiempo, querés velocidad
$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$	Conocés tiempo, querés posición
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$	NO conocés tiempo
$x = x_0 + \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$	Conocés ambas velocidades + tiempo

Cómo se ven en gráficas:

$x$ vs $t$ : parábola.
$v$ vs $t$ : línea recta con pendiente $a_0$ .
$a$ vs $t$ : línea horizontal.

1.5 El caso especial: caída libre

📐 Fundamento

Caída libre = movimiento bajo la única acción de la gravedad (sin aire). Todos los objetos en caída libre tienen la misma aceleración:

g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2

apuntando hacia abajo. (El valor varía un poco con la latitud y altitud — en El Salvador, cerca del ecuador, $g \approx 9.78$ m/s². Para casi todos los problemas, $g = 9.8$ basta.)

Convención de signos. Elegimos un eje vertical $y$ . Casi siempre conviene:

$y$ positivo hacia arriba.
$g$ entonces es $-9.8$ m/s² (apunta hacia abajo, que es el sentido negativo).

O alternativamente:

$y$ positivo hacia abajo (medís la profundidad de caída).
$g$ entonces es $+9.8$ m/s².

Cualquiera sirve. Lo crítico es ser consistente dentro del problema. Mezclar convenciones es el error #1 en parciales de física.

Las ecuaciones de MRUA, con $a = -g$ y eje $y$ hacia arriba:

v_y(t) = v_{0y} - g t

y(t) = y_0 + v_{0y} t - \tfrac{1}{2} g t^2

v_y^2 = v_{0y}^2 - 2 g (y - y_0)

Notá los signos negativos — vienen de que $g$ tira hacia abajo y $y$ es positivo hacia arriba.

🛠️ En la práctica

Ejemplo 1 — Tiempo de caída desde un balcón.

Tirás una llave desde el balcón del 4° piso de un edificio en San Miguel — altura $h = 12$ m. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad llega?

Eligo $y$ hacia abajo (positivo hacia abajo, ya que solo me interesa el descenso). Entonces $g = +9.8$ m/s², $y_0 = 0$ , $v_0 = 0$ (la dejás caer, no la lanzás).

Tiempo de caída: usando $y = \frac{1}{2} g t^2$ , despejo:

t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12}{9.8}} = \sqrt{2.45} \approx 1.56 \text{ s}

Velocidad al impacto: $v = g t = 9.8 \cdot 1.56 \approx 15.3$ m/s. (Eso es ~55 km/h. Por eso una llave tirada desde un 4° piso te puede partir el cráneo.)

Ejemplo 2 — Lanzamiento hacia arriba.

Lanzás una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad inicial $v_0 = 20$ m/s. ¿Hasta qué altura sube? ¿En qué momento alcanza esa altura?

Elijo $y$ hacia arriba. Entonces $a = -g = -9.8$ m/s², $v_0 = +20$ m/s, $y_0 = 0$ .

En el punto más alto, la velocidad es momentáneamente cero (justo cuando deja de subir y empieza a bajar).

Tiempo: usando $v = v_0 - g t = 0$ :

t = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}

Altura: $y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 2.04 - 4.9 \cdot 4.16 \approx 40.8 - 20.4 \approx 20.4$ m.

Alternativamente, usando $v^2 = v_0^2 - 2gy$ con $v = 0$ :

y = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \text{ m}

Llega a la misma respuesta — más rápido y sin calcular el tiempo. Esa es la utilidad de la cuarta ecuación.

Ejemplo 3 — Parar el coche.

Vas a $90$ km/h en una carretera de El Salvador (eso es $25$ m/s) y frenás de golpe. El frenado de tu coche da una desaceleración de $a = -7$ m/s². ¿Cuántos metros recorrés antes de detenerte?

Datos: $v_0 = 25$ m/s, $v = 0$ , $a = -7$ m/s².

Usando $v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$ :

0 = 625 + 2(-7) \Delta x \quad \Rightarrow \quad \Delta x = \frac{625}{14} \approx 44.6 \text{ m}

Casi 45 metros. Menos mal que tenés frenos buenos.

⚠️ Trampa común

No confundas velocidad con aceleración.

Un objeto puede tener velocidad alta y aceleración cero — está yendo rápido pero sin acelerar (un avión a velocidad de crucero). O velocidad cero y aceleración no-cero — el momento exacto en que la pelota lanzada hacia arriba deja de subir y empieza a bajar: $v = 0$ , pero $a = -g \neq 0$ .

No confundas el signo de la velocidad con frenar.

Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el objeto está acelerando (yendo más rápido). Si tienen signos opuestos, está frenando (yendo más lento, sin importar la dirección).

Un coche yendo hacia atrás (velocidad negativa) puede estar acelerando hacia atrás (haciéndose más rápido en la dirección negativa) si su aceleración también es negativa. Confuso, pero la matemática no miente.

No olvides la convención de signos.

Si elegiste $y$ hacia arriba al inicio del problema, no cambiés de convención a mitad de la solución. Es la fuente más común de errores numéricos en parciales.

1.6 Resumen visual

Cantidad	Símbolo	Definición	Unidades
Posición	$x$	Ubicación medida desde origen	m
Velocidad	$v$	$\frac{dx}{dt}$	m/s
Aceleración	$a$	$\frac{dv}{dt}$	m/s²

1.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 1.1 — MRU básico

Un autobús sale de San Miguel a las 6:00 a.m. con velocidad constante de $80$ km/h hacia La Unión, que está a $40$ km de distancia. ¿A qué hora llega?

✏️ Ejercicio 1.2 — Caída libre

Un objeto se deja caer desde una altura de $45$ m. Despreciá la resistencia del aire ( $g = 9.8$ m/s²).

a. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? b. ¿Con qué velocidad impacta? c. ¿Qué altura ha caído al cabo de 1 segundo?

✏️ Ejercicio 1.3 — MRUA con frenado

Un coche viaja a $108$ km/h. El conductor pisa el freno y desacelera a $-6$ m/s² constante.

a. ¿Cuántos metros recorre antes de detenerse? b. ¿Cuántos segundos dura el frenado?

✏️ Ejercicio 1.4 — Pensalo

Un avión despega y, en el momento exacto en que sus ruedas dejan la pista, tiene velocidad $80$ m/s hacia adelante y aceleración $4$ m/s² hacia adelante. ¿Está acelerando o frenando? ¿Por qué?

1.8 Para profundizar

Libro: Serway & Jewett, Física para Ciencias e Ingeniería — capítulos 2 y 3. Es el libro estándar en las facultades de Ingeniería de la región.
Visualización: los applets de PhET (phet.colorado.edu) tienen simuladores de cinemática 1D y 2D excelentes — gratis, en español.
Próximo capítulo: Vectores y movimiento 2D — extendemos lo que viste acá a dos dimensiones (proyectiles, trayectorias). Las ideas son las mismas, las matemáticas se complican un poco con vectores.

Definiciones nuevas en este capítulo: posición, desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración, MRU, MRUA, caída libre.

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