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Reglas de derivación

"La matemática consiste en demostrar lo más obvio en la forma menos obvia." — George Pólya.

Qué vas a aprender en este capítulo

En el capítulo anterior derivaste funciones desde la definición — un proceso lento y mecánico. Ahora aprendés los atajos: una pequeña colección de reglas que combinadas permiten derivar casi cualquier función que vas a encontrar, sin volver al límite. Vas a memorizar unas 10 fórmulas, vas a aprender 4 reglas de combinación, y al terminar el capítulo vas a derivar funciones que parecían imposibles en la página anterior.

4.1 La idea: una caja de herramientas

💡 Intuición

Hasta acá, derivar era usar la definición de derivada — el límite del cociente de incrementos. Funciona siempre, pero es lento, y para funciones complicadas el álgebra se vuelve infumable.

La idea de este capítulo es: demostremos las fórmulas una vez y reutilicémoslas mil. Si demostramos que la derivada de xnx^n es nxn−1n x^{n-1} para cualquier nn, ya no tenemos que volver a hacer el límite cada vez que aparezca una potencia.

Lo mismo para el seno, el coseno, la exponencial, el logaritmo. Después demostramos cuatro reglas que dicen cómo se combinan derivadas (suma, producto, cociente, composición) y con eso podés derivar cualquier expresión que combine las funciones básicas.

Pensalo así: la definición es como construir un coche pieza por pieza. Las reglas son como tener un catálogo de partes ya hechas y un manual para ensamblarlas.

4.2 Reglas básicas

📐 Fundamento

Regla 1: Constante.

ddx(c)=0\frac{d}{dx}(c) = 0

Una constante no cambia, su pendiente es cero. Lo demostramos en el capítulo anterior.

Regla 2: Múltiplo constante.

ddx(c⋅f(x))=c⋅f′(x)\frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x)

Multiplicar una función por una constante multiplica también su pendiente.

Regla 3: Suma y resta.

ddx(f(x)±g(x))=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}\big(f(x) \pm g(x)\big) = f'(x) \pm g'(x)

La derivada distribuye sobre suma y resta. Demostración rápida:

lim⁡h→0[f(x+h)+g(x+h)]−[f(x)+g(x)]h\lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h}
=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h+lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h=f′(x)+g′(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = f'(x) + g'(x)

(usamos que el límite de la suma es la suma de los límites, lo vimos en el cap. 1).

Regla 4: Potencia (la más útil de todas).

ddx(xn)=n⋅xn−1\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}

Vale para cualquier exponente real nn — entero, fracción, negativo, irracional. La demostración para nn entero positivo sale del binomio de Newton; para los demás, requiere logaritmos (lo vemos en la sección 4.5).

Ejemplos directos:

Función Derivada
x5x^5 5x45 x^4
xx 11 (porque x=x1x = x^1, derivada 1⋅x0=11 \cdot x^0 = 1)
x−2=1x2x^{-2} = \frac{1}{x^2} −2x−3=−2x3-2 x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​=x1/2 12x−1/2=12x\frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​1​
77 00 (constante)
3x43 x^4 12x312 x^3 (múltiplo + potencia)

Combinando reglas — un polinomio:

f(x)=3x4−5x2+7x−2f(x) = 3 x^4 - 5 x^2 + 7 x - 2
f′(x)=12x3−10x+7f'(x) = 12 x^3 - 10 x + 7

(El −2-2 desaparece porque es constante; 7x7x deriva a 77.)

Toda la "cuenta" de derivar polinomios se reduce a estas cuatro reglas. Si derivás polinomios sin la definición, ya estás aplicándolas.

4.3 Funciones trascendentes básicas

📐 Fundamento

Función Derivada
sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x −sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan x sec⁡2x\sec^2 x
exe^x exe^x
axa^x axln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x 1x\dfrac{1}{x}
log⁡ax\log_a x 1xln⁡a\dfrac{1}{x \ln a}

La estrella: exe^x. Es la única función no nula que es igual a su derivada. Esa propiedad es lo que define al número e≈2.71828e \approx 2.71828 y lo que hace al "logaritmo natural" ln⁡\ln tan especial. La explicación intuitiva: si una cantidad crece a una tasa proporcional a sí misma (interés compuesto continuo, crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo) — está modelada por ekte^{kt}.

Por qué sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos. Demostración mediante el límite:

ddxsin⁡x=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

Usando sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h:

=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡hh= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
=sin⁡xlim⁡h→0cos⁡h−1h⏟0+cos⁡xlim⁡h→0sin⁡hh⏟1=cos⁡x= \sin x \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}}_{0} + \cos x \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}}_{1} = \cos x

Los dos límites laterales son los famosos límites trigonométricos especiales que viste en el capítulo de límites. Sin ellos, no hay derivada del seno. Por eso se enseñan en límites: son la materia prima de las derivadas trigonométricas.

Crucial: estas fórmulas asumen que el ángulo está en radianes. Si trabajás en grados, aparecen factores feos π/180\pi/180. Por eso en cálculo (y en física) siempre radianes.

4.4 Regla del producto

📐 Fundamento

ddx(f(x)⋅g(x))=f′(x) g(x)+f(x) g′(x)\frac{d}{dx}\big(f(x) \cdot g(x)\big) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x)

¡La derivada del producto NO es el producto de las derivadas! Esa es la trampa #1 del cálculo. Demostración:

lim⁡h→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}

Restamos y sumamos f(x+h)g(x)f(x+h)g(x):

=lim⁡h→0f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)−f(x)g(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}
=lim⁡h→0f(x+h)⋅g(x+h)−g(x)h+lim⁡h→0g(x)⋅f(x+h)−f(x)h= \lim_{h \to 0} f(x+h) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + \lim_{h \to 0} g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)= f(x) g'(x) + g(x) f'(x)

Memo nemotécnico (Leibniz): "el primero por la derivada del segundo, más el segundo por la derivada del primero".

Ejemplo. Derivar h(x)=x2sin⁡xh(x) = x^2 \sin x.

  • f(x)=x2f(x) = x^2, f′(x)=2xf'(x) = 2x.
  • g(x)=sin⁡xg(x) = \sin x, g′(x)=cos⁡xg'(x) = \cos x.
h′(x)=2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡xh'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x

Ejemplo más. Derivar h(x)=(3x+1)(x2−5)h(x) = (3x + 1)(x^2 - 5).

  • f′=3f' = 3, g′=2xg' = 2x.
  • h′=3(x2−5)+(3x+1)(2x)=3x2−15+6x2+2x=9x2+2x−15h' = 3(x^2 - 5) + (3x+1)(2x) = 3x^2 - 15 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 15.

(Verificá expandiendo y derivando como polinomio: 3x3−15x+x2−53x^3 - 15x + x^2 - 5 → 9x2−15+2x9x^2 - 15 + 2x. ¡Coinciden!)

4.5 Regla del cociente

📐 Fundamento

ddx(f(x)g(x))=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{[g(x)]^2}

¡El signo importa! Es f′g−fg′f'g - fg', no f′g+fg′f'g + fg'. Esa es la trampa #2 del cálculo.

Memo nemotécnico: "baja por derivada de arriba, menos arriba por derivada de baja, todo sobre baja al cuadrado". O en inglés: "low d-high minus high d-low, all over low-low".

Ejemplo. Derivar h(x)=x2+1x−3h(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}.

  • f=x2+1f = x^2 + 1, f′=2xf' = 2x.
  • g=x−3g = x - 3, g′=1g' = 1.
h′(x)=2x(x−3)−(x2+1)(1)(x−3)2=2x2−6x−x2−1(x−3)2=x2−6x−1(x−3)2h'(x) = \frac{2x(x-3) - (x^2+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}

Atajo útil: si el denominador es una potencia simple de xx (o algo fácil), a veces es más rápido reescribir como producto y usar la regla del producto:

x2x3+1=(x2)(x3+1)−1\frac{x^2}{x^3 + 1} = (x^2)(x^3+1)^{-1}

(Para esto necesitás derivar (x3+1)−1(x^3+1)^{-1}, lo que requiere la regla de la cadena — siguiente sección.)

Demostración. Vale el producto: fg=f⋅g−1\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}. Derivando con producto y cadena (que veremos en breve):

(fg)′=f′g−1+f⋅(−1)g−2g′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = f' g^{-1} + f \cdot (-1) g^{-2} g' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

4.6 Regla de la cadena (la más importante)

📐 Fundamento

Si h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) — una composición —, entonces:

h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

En notación de Leibniz, esa fórmula es muchísimo más sugerente. Si llamamos u=g(x)u = g(x) y y=f(u)y = f(u):

dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Se "cancela" el dudu formalmente — y aunque eso no es una demostración rigurosa, ayuda a recordar.

Cómo identificar una composición. Cuando ves "una función adentro de otra":

Función "Adentro" gg "Afuera" ff
sin⁡(x2)\sin(x^2) x2x^2 sin⁡u\sin u
(3x+1)7(3x + 1)^7 3x+13x + 1 u7u^7
ex2−1e^{x^2 - 1} x2−1x^2 - 1 eue^u
ln⁡(cos⁡x)\ln(\cos x) cos⁡x\cos x ln⁡u\ln u

Ejemplo 1. Derivar h(x)=sin⁡(x2)h(x) = \sin(x^2).

  • g(x)=x2g(x) = x^2, g′(x)=2xg'(x) = 2x.
  • f(u)=sin⁡uf(u) = \sin u, f′(u)=cos⁡uf'(u) = \cos u.
h′(x)=cos⁡(x2)⋅2x=2xcos⁡(x2)h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)

Ejemplo 2. Derivar h(x)=(3x+1)7h(x) = (3x + 1)^7.

  • g=3x+1g = 3x + 1, g′=3g' = 3.
  • f(u)=u7f(u) = u^7, f′(u)=7u6f'(u) = 7u^6.
h′(x)=7(3x+1)6⋅3=21(3x+1)6h'(x) = 7(3x+1)^6 \cdot 3 = 21(3x+1)^6

Ejemplo 3 — composición triple. Derivar h(x)=sin⁡(cos⁡(x2))h(x) = \sin(\cos(x^2)).

Pensalo como tres capas de cebolla. Derivás de afuera hacia adentro, multiplicando:

h′(x)=cos⁡(cos⁡(x2))⋅(−sin⁡(x2))⋅2xh'(x) = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x

Truco práctico de la cadena. Mentalmente decí: "si esto fuera uu, sería trivial; ahora multiplicá por la derivada del uu".

sin(  x²  )' = cos( x² ) · 2x
       ↑                ↑
       |  derivar adentro
       derivar afuera dejando "x²" donde está

⚠️ Trampa común

Olvidar multiplicar por g′(x)g'(x). Es el error más castigado. Quien escribe:

ddxsin⁡(x2)=cos⁡(x2)❌\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \quad ❌

está pidiendo perder el punto. Falta el ⋅2x\cdot 2x. Si lo que está adentro de la función externa no es solo xx, hay regla de la cadena.

Confundir cuál es "la de afuera". Para h=sin⁡(x2)h = \sin(x^2), "la de afuera" es seno (que recibe algo y devuelve un seno). "La de adentro" es la cuadrática. Si no estás seguro, leé la función de izquierda a derecha como la imprime: la primera operación que aplicás al final es la "de afuera".

Cadena de cadenas: olvidar capas. Para sin⁡(cos⁡(x2))\sin(\cos(x^2)), hay tres cosas que derivar y multiplicar. Es fácil olvidar la del medio. Escribí cada paso:

[sin( cos( x² ) )]' 
 = cos( cos( x² ) )       ← derivada de la externa, evaluada en su argumento
   · [ -sin( x² ) ]       ← derivada de la del medio
   · 2x                   ← derivada de la interna

4.7 Derivadas implícitas (vistazo)

A veces yy no aparece despejada, sino mezclada con xx en una ecuación:

x2+y2=25x^2 + y^2 = 25

(un círculo de radio 5). Para encontrar dydx\frac{dy}{dx}, derivamos los dos lados respecto a xx, tratando yy como función de xx y aplicando regla de la cadena:

2x+2y⋅dydx=02x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0

(la derivada de y2y^2 es 2y⋅y′2y \cdot y', por la cadena). Despejando:

dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

Esto se llama derivación implícita. Es útil cuando despejar yy es difícil o imposible. Lo profundizamos en cualquier libro de cálculo más extenso; por ahora basta con saber que existe.

4.8 Tabla de derivadas (referencia rápida)

📐 Fundamento

Esta es la tabla que vas a tener en la cabeza al final del capítulo. Memorizala — vas a usar estas fórmulas el resto de la carrera.

f(x)f(x) f′(x)f'(x)
cc (constante) 00
xnx^n nxn−1n x^{n-1}
exe^x exe^x
axa^x axln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x 1/x1/x
log⁡ax\log_a x 1/(xln⁡a)1/(x \ln a)
sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x −sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan x sec⁡2x\sec^2 x
cot⁡x\cot x −csc⁡2x-\csc^2 x
sec⁡x\sec x sec⁡xtan⁡x\sec x \tan x
csc⁡x\csc x −csc⁡xcot⁡x-\csc x \cot x
arcsin⁡x\arcsin x 1/1−x21/\sqrt{1 - x^2}
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z"/>​
arctan⁡x\arctan x 1/(1+x2)1/(1 + x^2)

Reglas de combinación:

Regla Fórmula
Múltiplo (cf)′=cf′(c f)' = c f'
Suma (f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'
Producto (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
Cociente (f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
Cadena (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

4.9 Ejemplos resueltos largos

🛠️ En la práctica

Ejemplo A. Derivar f(x)=x2sin⁡xx2+1f(x) = \dfrac{x^2 \sin x}{x^2 + 1}.

Cociente, con producto adentro. Plan:

  • u=x2sin⁡xu = x^2 \sin x (numerador, requiere producto).
  • v=x2+1v = x^2 + 1 (denominador).

Calculo cada uno por separado:

  • u′=2xsin⁡x+x2cos⁡xu' = 2x \sin x + x^2 \cos x.
  • v′=2xv' = 2x.

Aplico cociente:

f′(x)=(2xsin⁡x+x2cos⁡x)(x2+1)−x2sin⁡x⋅2x(x2+1)2f'(x) = \frac{(2x\sin x + x^2 \cos x)(x^2+1) - x^2 \sin x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Generalmente no expandimos: el resultado está bien así, factorizado. Solo expandimos si nos piden simplificar más.

Ejemplo B. Derivar g(x)=esin⁡(3x2)g(x) = e^{\sin(3x^2)}.

Composición de tres capas:

  1. La más externa: eue^u → derivada eue^u.
  2. La del medio: sin⁡v\sin v → derivada cos⁡v\cos v.
  3. La más interna: 3x23x^2 → derivada 6x6x.

Multiplicamos en cadena:

g′(x)=esin⁡(3x2)⋅cos⁡(3x2)⋅6xg'(x) = e^{\sin(3x^2)} \cdot \cos(3x^2) \cdot 6x

Ejemplo C. Derivar h(x)=ln⁡(x2+1x−3)h(x) = \ln\left(\dfrac{x^2+1}{x-3}\right).

Truco — usar propiedades del logaritmo antes de derivar:

h(x)=ln⁡(x2+1)−ln⁡(x−3)h(x) = \ln(x^2 + 1) - \ln(x - 3)

Ahora son dos derivadas simples (cadena trivial cada una):

h′(x)=2xx2+1−1x−3h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x - 3}

Mucho más limpio que aplicar cociente adentro del logaritmo. Lección: antes de aplicar la regla mecánica, fíjate si simplificar la función te ahorra trabajo.

Ejemplo D. Derivar f(x)=(3x2+1)4⋅cos⁡xf(x) = (3x^2 + 1)^4 \cdot \cos x.

Producto. Para el primer factor necesito cadena.

  • u=(3x2+1)4u = (3x^2+1)^4, u′=4(3x2+1)3⋅6x=24x(3x2+1)3u' = 4(3x^2+1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2+1)^3.
  • v=cos⁡xv = \cos x, v′=−sin⁡xv' = -\sin x.
f′(x)=24x(3x2+1)3cos⁡x−(3x2+1)4sin⁡xf'(x) = 24x(3x^2+1)^3 \cos x - (3x^2+1)^4 \sin x

4.10 Ejercicios

✏️ Ejercicio 4.1 — Reglas básicas

Derivá las siguientes funciones. No simplifiques.

a. f(x)=5x3−7x2+2x−11f(x) = 5x^3 - 7x^2 + 2x - 11 b. f(x)=x+1x2f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2} c. f(x)=4sin⁡x−3cos⁡xf(x) = 4 \sin x - 3 \cos x d. f(x)=ex+2ln⁡xf(x) = e^x + 2 \ln x

Solución

a. f′(x)=15x2−14x+2f'(x) = 15x^2 - 14x + 2.

b. Reescribir: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, 1/x2=x−21/x^2 = x^{-2}. Derivada: 12x−1/2−2x−3=12x−2x3\frac{1}{2} x^{-1/2} - 2 x^{-3} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}.

c. f′(x)=4cos⁡x+3sin⁡xf'(x) = 4 \cos x + 3 \sin x.

d. f′(x)=ex+2xf'(x) = e^x + \frac{2}{x}.

✏️ Ejercicio 4.2 — Producto y cociente

Derivá:

a. f(x)=x3exf(x) = x^3 e^x b. f(x)=sin⁡xxf(x) = \dfrac{\sin x}{x} c. f(x)=(x2+1)(x3−4)f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 4) d. f(x)=exx2+1f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}

Solución

a. Producto: f′=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)f' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x (3 + x).

b. Cociente: f′=cos⁡x⋅x−sin⁡x⋅1x2=xcos⁡x−sin⁡xx2f' = \dfrac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2}.

c. Producto: f′=2x(x3−4)+(x2+1)(3x2)=2x4−8x+3x4+3x2=5x4+3x2−8xf' = 2x(x^3 - 4) + (x^2+1)(3x^2) = 2x^4 - 8x + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2 - 8x.

d. Cociente: f′=ex(x2+1)−ex(2x)(x2+1)2=ex(x2−2x+1)(x2+1)2=ex(x−1)2(x2+1)2f' = \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x (x-1)^2}{(x^2+1)^2}.

✏️ Ejercicio 4.3 — Cadena

Derivá:

a. f(x)=(2x2+5)10f(x) = (2x^2 + 5)^{10} b. f(x)=sin⁡(3x+1)f(x) = \sin(3x + 1) c. f(x)=ex2f(x) = e^{x^2} d. f(x)=ln⁡(4x3−7)f(x) = \ln(4x^3 - 7) e. f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}

Solución

a. f′=10(2x2+5)9⋅4x=40x(2x2+5)9f' = 10(2x^2+5)^9 \cdot 4x = 40 x (2x^2+5)^9.

b. f′=cos⁡(3x+1)⋅3=3cos⁡(3x+1)f' = \cos(3x+1) \cdot 3 = 3 \cos(3x+1).

c. f′=ex2⋅2xf' = e^{x^2} \cdot 2x.

d. f′=14x3−7⋅12x2=12x24x3−7f' = \dfrac{1}{4x^3 - 7} \cdot 12x^2 = \dfrac{12x^2}{4x^3 - 7}.

e. Reescribir: x2+1=(x2+1)1/2\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}. Cadena: 12(x2+1)−1/2⋅2x=xx2+1\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

✏️ Ejercicio 4.4 — Combinaciones

Derivá:

a. f(x)=sin⁡2(x)f(x) = \sin^2(x) (atención: sin⁡2x=(sin⁡x)2\sin^2 x = (\sin x)^2) b. f(x)=ecos⁡(2x)f(x) = e^{\cos(2x)} c. f(x)=x2ln⁡(x2+1)f(x) = x^2 \ln(x^2 + 1) d. f(x)=sin⁡(3x)e2xf(x) = \dfrac{\sin(3x)}{e^{2x}}

Solución

a. Cadena con afuera u2u^2 y adentro sin⁡x\sin x: f′=2sin⁡x⋅cos⁡x=sin⁡(2x)f' = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin(2x) (identidad útil).

b. Cadena triple: afuera eue^u, medio cos⁡v\cos v, adentro 2x2x. f′=ecos⁡(2x)⋅(−sin⁡(2x))⋅2=−2sin⁡(2x) ecos⁡(2x)f' = e^{\cos(2x)} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -2 \sin(2x) , e^{\cos(2x)}.

c. Producto: f′=2xln⁡(x2+1)+x2⋅2xx2+1=2xln⁡(x2+1)+2x3x2+1f' = 2x \ln(x^2+1) + x^2 \cdot \dfrac{2x}{x^2+1} = 2x \ln(x^2+1) + \dfrac{2x^3}{x^2+1}.

d. Cociente con cadena en numerador y denominador. u′=3cos⁡(3x)u' = 3 \cos(3x), v=e2xv = e^{2x}, v′=2e2xv' = 2 e^{2x}. f′=3cos⁡(3x)e2x−sin⁡(3x)⋅2e2xe4x=3cos⁡(3x)−2sin⁡(3x)e2xf' = \dfrac{3\cos(3x) e^{2x} - \sin(3x) \cdot 2e^{2x}}{e^{4x}} = \dfrac{3\cos(3x) - 2 \sin(3x)}{e^{2x}}.

✏️ Ejercicio 4.5 — Derivada implícita

Hallá dydx\dfrac{dy}{dx} a partir de la ecuación implícita:

x3+y3=6xyx^3 + y^3 = 6xy

(la folium de Descartes, una curva clásica del siglo XVII).

Solución

Derivamos los dos lados respecto a xx, tratando y=y(x)y = y(x):

3x2+3y2dydx=6y+6xdydx3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \frac{dy}{dx}

Agrupamos dy/dxdy/dx:

3y2dydx−6xdydx=6y−3x23y^2 \frac{dy}{dx} - 6x \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2
dydx(3y2−6x)=6y−3x2\frac{dy}{dx} (3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2
dydx=6y−3x23y2−6x=2y−x2y2−2x\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}

4.11 Para profundizar

Definiciones nuevas: regla de la suma, del producto, del cociente, regla de la cadena, derivada implícita, composición.

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