Continuidad

"Natura non facit saltus." — Carl Linneo, 1751. ("La naturaleza no da saltos.")

Qué vas a aprender en este capítulo

Vas a entender por qué la palabra "continuo" — que parece intuitiva — necesita una definición matemática rigurosa. Vas a aprender a clasificar los tres tipos de "discontinuidad" que pueden aparecer en una función, y vas a conocer un teorema sorprendentemente poderoso (el del valor intermedio) que es la base de cómo las computadoras encuentran raíces de ecuaciones.

2.1 La idea: trazar sin levantar el lápiz

💡 Intuición

Una función es continua cuando podés dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Si tenés que saltar — porque hay un agujero, un escalón, o porque la función se va al infinito — entonces es discontinua en ese punto.

Tres ejemplos de la vida diaria:

La temperatura de tu café: continua. Va bajando suavemente, sin saltos.
El precio del bus interurbano por tramo: discontinua con saltos. De San Miguel a La Unión cuesta lo mismo en cualquier punto del tramo, pero al cruzar la frontera del siguiente tramo el precio salta.
El número de personas en un cuarto: discontinua con saltos. Pasás de 3 a 4 personas cuando alguien entra — no existe "3.5 personas". Esa función solo toma valores enteros.

La continuidad importa porque muchas técnicas del cálculo solo funcionan sobre funciones continuas. Si no hay continuidad, no podés derivar, no podés integrar de la manera estándar, y los teoremas se rompen. Es la propiedad básica que asumimos cuando hacemos análisis matemático.

2.2 Definición formal: tres condiciones

📐 Fundamento

Una función $f$ es continua en el punto $a$ si se cumplen las tres condiciones siguientes:

$f(a)$ está definido. La función tiene un valor en $a$ .
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe. Hay un número al que la función tiende.
Esos dos valores coinciden. Es decir, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Si cualquiera de las tres falla, $f$ es discontinua en $a$ .

Decimos que $f$ es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.

Las funciones que ya viste son continuas en sus dominios:

Polinomios: continuos en todo $\mathbb{R}$ .
Racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$ : continuas donde $Q(x) \neq 0$ .
$\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ : continuas en todo $\mathbb{R}$ .
$\ln x$ : continua en $(0, \infty)$ .
$\sqrt{x}$ : continua en $[0, \infty)$ .

Esto te dice que el 95% de las funciones que vas a manipular son continuas, salvo en puntos específicos donde se rompen (denominadores que se anulan, raíces de números negativos, logaritmos de cero).

2.3 Los tres tipos de discontinuidad

📐 Fundamento

Cuando una función falla en ser continua en $a$ , el "tipo" de falla suele ser uno de tres:

Tipo 1 — Discontinuidad removible (hueco).

El límite existe, pero $f(a)$ no coincide con él (o $f(a)$ no está definido).

Ejemplo: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $x = 1$ . Vimos en el capítulo anterior que el límite cuando $x \to 1$ es $2$ . Pero $f(1)$ no está definido (división por cero). Hay un hueco en la gráfica.

Se llama "removible" porque podríamos arreglar la función definiendo $f(1) = 2$ — y se vuelve continua. La discontinuidad es como un agujero que se puede tapar.

Tipo 2 — Discontinuidad de salto.

Los límites laterales existen, pero son distintos:

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Ejemplo: la función "parte entera" $\lfloor x \rfloor$ tiene un salto en cada entero. En $x = 2$ , por la izquierda vale $1$ , por la derecha vale $2$ .

No se puede arreglar redefiniendo un solo punto — el salto está en la naturaleza de la función.

Tipo 3 — Discontinuidad infinita (asíntota vertical).

La función crece o decrece sin tope cerca de $a$ . El límite "es infinito", lo que técnicamente significa que no existe como número finito.

Ejemplo: $f(x) = \frac{1}{x}$ en $x = 0$ . Por la izquierda tiende a $-\infty$ , por la derecha a $+\infty$ .

No se puede arreglar de ninguna manera — la función es genuinamente patológica en ese punto.

🛠️ En la práctica

Cómo clasificar una discontinuidad en la práctica.

Dado un punto $a$ donde sospechás que hay discontinuidad:

¿Está definida $f(a)$ ? Si no, es candidata a removible o infinita.
Calculá $\lim_{x \to a^-} f(x)$ y $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .
Si ambos límites son finitos e iguales → discontinuidad removible (el límite existe, solo falta acomodar $f(a)$ ).
Si ambos son finitos pero distintos → discontinuidad de salto.
Si alguno es $\pm\infty$ → discontinuidad infinita.

Ejemplo trabajado. Clasificá las discontinuidades de:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}

Factorizamos: numerador $= (x-2)(x+2)$ , denominador $= (x-2)(x-3)$ . Los puntos sospechosos son donde el denominador se anula: $x = 2$ y $x = 3$ .

En $x = 2$ : $f(2) = \frac{0}{0}$ → indefinido. Pero $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-3} = \frac{4}{-1} = -4$ . Como el límite existe pero $f(2)$ no, es discontinuidad removible.

En $x = 3$ : $f(3) = \frac{5}{0}$ → no definido. El numerador no se anula, así que el cociente tiende a $\pm\infty$ . Discontinuidad infinita.

Por la izquierda de $3$ : $x - 3 < 0$ , así que el cociente $\frac{x+2}{x-3} \to \frac{5}{0^-} = -\infty$ . Por la derecha: $\frac{5}{0^+} = +\infty$ .

⚠️ Trampa común

"Continuidad por trozos" no es un tipo de continuidad.

Una función definida con varios trozos (como $f(x) = x$ si $x < 0$ , y $f(x) = x^2$ si $x \geq 0$ ) puede ser perfectamente continua. Lo único que importa es si encajan en la frontera: si $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ .

Un error frecuente en parciales: ver una función por trozos y declarar "discontinua" sin verificar la frontera. ¡Calculá los límites laterales primero!

Otro error común: confundir "no existe el límite en infinito" con "discontinuidad en infinito". El infinito no es un número, así que no hay un punto en el que ser discontinua. La continuidad es una propiedad puntual.

2.4 El teorema del valor intermedio

📐 Fundamento

Hay un teorema que parece obvio pero tiene consecuencias profundas:

Teorema del valor intermedio (TVI). Sea $f$ continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Si $N$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces existe al menos un $c \in [a, b]$ tal que $f(c) = N$ .

En palabras: si una función continua va del valor $f(a)$ al valor $f(b)$ , pasa por todos los valores intermedios en el camino. No puede saltarse ninguno.

Esto suena como "no jodás, claro". Pero pensá lo que significa: si $f$ no fuera continua, podría saltar de 3 a 7 sin tocar el 5. Lo continuo es lo que garantiza que toca todo.

La aplicación más común: encontrar raíces.

Supongamos que querés saber si $f(x) = x^3 - x - 1$ tiene una raíz entre $1$ y $2$ . Calculás:

$f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$
$f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$

$f$ es continua (es un polinomio). Va de $-1$ a $5$ . Por TVI, tiene que pasar por $0$ en algún momento. Es decir, existe $c \in (1, 2)$ tal que $f(c) = 0$ . La ecuación $x^3 - x - 1 = 0$ tiene una raíz entre $1$ y $2$ .

No te dice dónde está la raíz exactamente — solo que existe. Pero ya con eso podés cerrar el intervalo (probá en $1.5$ , ves el signo, descartás la mitad sin raíz, repetís). Esto es el método de bisección, y es exactamente cómo las computadoras encuentran soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver algebraicamente.

🛠️ En la práctica · método de bisección

Encontrar la raíz de $f(x) = x^3 - x - 1$ con precisión de $0.01$ :

Paso	Intervalo	Punto medio $m$	$f(m)$	Nuevo intervalo
1	$[1, 2]$	$1.5$	$0.875 > 0$	$[1, 1.5]$
2	$[1, 1.5]$	$1.25$	$-0.297 < 0$	$[1.25, 1.5]$
3	$[1.25, 1.5]$	$1.375$	$0.225$	$[1.25, 1.375]$
4	$[1.25, 1.375]$	$1.3125$	$-0.052$	$[1.3125, 1.375]$
5	$[1.3125, 1.375]$	$1.3438$	$0.082$	$[1.3125, 1.3438]$

Después de 7 pasos más, llegarías a $x \approx 1.3247$ — la respuesta correcta. Cada paso parte el intervalo en dos, así que el error se divide entre dos cada vez. Para precisión $10^{-n}$ se necesitan unos $3.3n$ pasos. Es exponencialmente eficiente.

Si programás (capítulo 5 de Programación I, bucles), bisección es uno de los primeros algoritmos serios que vas a escribir. Su corrección depende, literalmente, del teorema del valor intermedio. Sin continuidad, no funcionaría.

2.5 Resumen visual

Condición de continuidad en $a$	¿Qué falla si no se cumple?
$f(a)$ definida	Posible removible o infinita
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe	Salto, infinita, u oscilación
Coinciden	Removible

2.6 Ejercicios

✏️ Ejercicio 2.1 — Verificá continuidad

Para cada función, determiná si es continua en el punto indicado. Si no lo es, clasificá la discontinuidad.

a. $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ en $x = 3$

b. $g(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \ x - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ en $x = 0$

c. $h(x) = \frac{1}{x - 2}$ en $x = 2$

d. $p(x) = \sin x + \cos x$ en $x = \pi$

✏️ Ejercicio 2.2 — Hacela continua

¿Para qué valor de $k$ la siguiente función es continua en $x = 2$ ?

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & x \neq 2 \\ k & x = 2 \end{cases}

✏️ Ejercicio 2.3 — Aplicá TVI

Mostrá que la ecuación $x^5 - 2x + 1 = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0, 1)$ .

✏️ Ejercicio 2.4 — Pensalo

¿Existe una función continua en $\mathbb{R}$ que cumpla $f(0) = 1$ , $f(1) = -1$ , y nunca pase por $0$ ? Justificá.

2.7 Para profundizar

Libro: Stewart, Cálculo de una variable — sección 2.5 cubre continuidad y secciones 2.4 + 2.7 cubren TVI.
Aplicación computacional: método de bisección y método de Newton-Raphson en cualquier libro de Métodos Numéricos. Bisección depende del TVI; Newton de la diferenciabilidad (capítulo 3).
Próximo capítulo: La derivada — el cambio instantáneo. Si entendiste continuidad, vas a entender por qué la derivada solo se puede definir donde la función es continua.

Definiciones nuevas en este capítulo: continuidad puntual, discontinuidad removible, discontinuidad de salto, discontinuidad infinita, teorema del valor intermedio.

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