Aplicaciones de la derivada

📐 Fundamento

Definiciones.

• $f$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ del dominio.
• $f$ tiene un mínimo local (o relativo) en $c$ si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ cercano a $c$.
• Idem para máximo absoluto y máximo local.

Teorema de Fermat. Si $f$ tiene un máximo o mínimo local en $c$ y $f'(c)$ existe, entonces $f'(c) = 0$.

Los puntos donde $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe se llaman puntos críticos. Toda extremo local está en un punto crítico. Por eso la receta es: encontrá los puntos críticos, después analizalos.

Cuidado: un punto crítico no garantiza un extremo. La función $f(x) = x^3$ tiene $f'(0) = 0$, pero ahí no hay máximo ni mínimo — solo un punto de inflexión. La derivada cero es necesaria pero no suficiente para tener extremo.

Criterio de la primera derivada. Sea $c$ un punto crítico de $f$:

• Si $f'$ cambia de positiva a negativa en $c$ → máximo local.
• Si $f'$ cambia de negativa a positiva en $c$ → mínimo local.
• Si $f'$ no cambia de signo → no es extremo (es punto de inflexión).

Receta para encontrar extremos en $[a, b]$ (Teorema del valor extremo). Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$:

1. Calculá $f'(x)$.
2. Encontrá puntos críticos en $(a, b)$: donde $f'(x) = 0$ o no existe.
3. Evaluá $f$ en cada punto crítico y en los extremos $a$ y $b$.
4. El mayor valor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto.

Ejemplo. Encontrar máximo y mínimo absoluto de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $[-2, 2]$.

Paso 1: $f'(x) = 3x^2 - 3$.

Paso 2: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. Ambos están en $(-2, 2)$.

Paso 3:

• $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$.
• $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$.
• $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.
• $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$.

Paso 4: el máximo absoluto es $3$ (alcanzado en $x = -1$ y $x = 2$), el mínimo absoluto es $-1$ (en $x = -2$ y $x = 1$).

📐 Fundamento

Cuando dos cantidades dependen del tiempo y están conectadas por una ecuación, sus derivadas también lo están. Eso permite calcular una a partir de la otra.

Receta.

1. Dibujá la situación. Identificá las cantidades variables.
2. Escribí la ecuación que las relaciona (geometría, física).
3. Derivá ambos lados respecto al tiempo.
4. Sustituí los datos del instante específico y despejá la incógnita.

Ejemplo clásico — la escalera que resbala. Una escalera de 5 m está apoyada en una pared. Su pie se aleja a 1 m/s. ¿A qué velocidad baja la parte superior cuando el pie está a 3 m de la pared?

Paso 1. $x$ = distancia del pie a la pared, $y$ = altura del extremo superior.

Paso 2. Pitágoras: $x^2 + y^2 = 25$.

Paso 3. Derivamos respecto al tiempo $t$:

Paso 4. Cuando $x = 3$: $y = \sqrt{25 - 9} = 4$. Sabemos $\frac{dx}{dt} = 1$ m/s. Despejamos:

El signo negativo significa que $y$ decrece: la parte superior cae a 0.75 m/s.

Una sutileza importante. Hay que derivar antes de sustituir valores específicos. Si sustituís $x = 3$ en la ecuación primero, perdés la dependencia con el tiempo.

📐 Fundamento

La segunda derivada $f''$ es la derivada de la derivada — la "tasa de cambio de la pendiente". Cuenta otra cosa que $f'$ no puede:

• Si $f''(x) > 0$ → $f$ es cóncava hacia arriba (forma de copa, $\smile$).
• Si $f''(x) < 0$ → $f$ es cóncava hacia abajo (forma de campana, $\frown$).
• Si $f''(x) = 0$ y cambia de signo → punto de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para extremos. Si $f'(c) = 0$ y $f''(c)$ existe:

• Si $f''(c) > 0$ → $c$ es mínimo local (la curva es "copa" allí, ergo el punto más bajo).
• Si $f''(c) < 0$ → $c$ es máximo local.
• Si $f''(c) = 0$ → inconclusivo, hay que usar primera derivada.

Por qué funciona. Si $f'(c) = 0$, la pendiente es cero. Si además $f''(c) > 0$, las pendientes están creciendo — pasaron de negativas (a la izquierda de $c$) a positivas (a la derecha). Eso es un mínimo.

Interpretación física. Si $x(t)$ es la posición, $x'(t) = v(t)$ es la velocidad y $x''(t) = a(t)$ es la aceleración. Cuando el coche frena, $a < 0$. Cuando acelera, $a > 0$. La segunda derivada de la posición es la aceleración: la "curvatura" de la trayectoria temporal.

📐 Fundamento

Cuando un límite te da la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, hay un atajo poderoso:

Regla de L'Hôpital. Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ (o ambos $\pm \infty$), y $g'(x) \neq 0$ cerca de $a$, entonces:

(siempre que el límite del lado derecho exista).

¡Atención! No es la "regla del cociente" — es derivar arriba y abajo por separado, no aplicar el cociente.

Ejemplo 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. Sustitución directa: $0/0$. Aplicamos L'Hôpital:

(es el límite famoso del cap. 1; con L'Hôpital, una línea).

Ejemplo 2. $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$. Da $\infty/\infty$. L'Hôpital:

Sigue siendo $\infty/\infty$. Aplicamos otra vez:

Lección. El exponencial crece más rápido que cualquier polinomio. L'Hôpital lo formaliza.

Ejemplo 3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$. $0/0$. L'Hôpital:

Otro $0/0$. Aplicamos otra vez:

Cuidado. L'Hôpital se aplica solo a indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Si tu límite no es de esas formas, no lo uses — da resultados absurdos.

Para otras indeterminaciones (como $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$), primero hay que transformarlas algebraicamente a $0/0$ o $\infty/\infty$ y después aplicar.

Demostración informal. Cerca de $a$, las funciones $f$ y $g$ se ven (gracias al teorema del valor medio) como rectas que pasan por el origen con pendiente $f'(a)$ y $g'(a)$. El cociente $f(x)/g(x) \approx f'(a)(x-a)/(g'(a)(x-a)) = f'(a)/g'(a)$.