Límites

📐 Fundamento

Cálculo por sustitución directa. Si $f$ es una función "razonable" (continua, técnicamente — lo veremos en el próximo capítulo) en el punto $a$, entonces:

Las funciones polinómicas, racionales (donde el denominador no se anula), exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son todas continuas en sus dominios. Para todas ellas, sustitución directa funciona.

Ejemplos:

• $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 1) = 3(4) - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$
• $\lim_{x \to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1$
• $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x + 3} = \frac{1 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Cuándo NO funciona la sustitución directa. Hay tres casos clásicos:

1. División por cero con numerador no cero. Por ejemplo $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$. El resultado tiende a $\pm\infty$.
2. Indeterminación $\frac{0}{0}$. Por ejemplo $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Reemplazar da $\frac{0}{0}$, que no es un número. Hay que trabajar más.
3. Función definida por trozos con frontera en $a$. Hay que verificar que ambos lados coincidan.

Los casos 2 y 3 son los importantes — son donde el cálculo te enseña algo nuevo.

📐 Fundamento

Considerá $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Si reemplazás $x = 1$: numerador = $0$, denominador = $0$. Indeterminado. Pero eso no significa que el límite no exista — significa que la sustitución directa no nos sirve. Hay que reescribir la función.

Factorizamos el numerador: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Entonces:

La función original y $x + 1$ son la misma función excepto en $x = 1$, donde la original no está definida. Pero el límite no se preocupa por el valor en $x = 1$, solo por valores cercanos. Entonces:

La idea profunda: la indeterminación $\frac{0}{0}$ aparece cuando hay un "factor común" entre el numerador y el denominador que se anula en el punto. Cancelarlo nos deja una expresión que sí podemos evaluar. Esto es lo que más adelante vamos a llamar continuidad removible y es la base de cómo se define la derivada.

📐 Fundamento

Un límite no existe cuando la función no se acerca a un único valor finito. Tres situaciones típicas:

1. Salto. Por la izquierda se acerca a un valor; por la derecha, a otro. Como una función "escalón".

2. Crecimiento sin tope. La función se va a $+\infty$ o $-\infty$. Técnicamente, decimos que el límite "es infinito", pero como infinito no es un número, decimos también que no existe como límite finito. La diferencia es notacional.

3. Oscilación sin convergencia. La función oscila cada vez más rápido sin estabilizarse. El ejemplo clásico es $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$.

Ejemplo de salto. Consideremos:

• Por la izquierda, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 + 1 = 3$.
• Por la derecha, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 - 1 = 1$.

Como los dos valores no coinciden, $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existe.

Regla operativa: el límite en un punto existe si y solo si los límites laterales coinciden:

📐 Fundamento — definición ε-δ

Para terminar el capítulo, la definición que cerró la discusión histórica:

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Léelo así:

"No importa qué tan estricto seas con la cercanía a $L$ que querés (cualquier $\varepsilon$ por chiquito que sea), yo te puedo dar una vecindad de $a$ (un $\delta$) tal que cualquier $x$ adentro de esa vecindad cumple tu exigencia."

Es una promesa con dos cuantificadores. Para todo tu desafío $\varepsilon$, existe mi respuesta $\delta$. La función se acerca a $L$ tanto como vos quieras, si elegís $x$ suficientemente cerca de $a$.

No te preocupes si te suena raro. Esta definición es difícil de digerir y se entiende plenamente solo después de mucha práctica. Para los problemas típicos del curso, la idea intuitiva ("a dónde se dirige") más las técnicas de cómputo (sustitución, factorización, conjugado) te alcanzan.

La definición ε-δ es lo que usás cuando querés demostrar que un límite es lo que afirmás. La intuición es lo que usás cuando querés calcularlo.