La derivada

"La derivada es la sombra del cambio." — frase popular en clases de cálculo, autor incierto.

Qué vas a aprender en este capítulo

Vas a entender qué es exactamente una derivada, no como una fórmula que memorizás sino como una idea que resuelve un problema concreto: ¿qué tan rápido cambia algo en un instante exacto? Vas a verla aparecer disfrazada en tres lugares aparentemente distintos: la pendiente de una curva, la velocidad instantánea de un objeto, y la razón de cambio de cualquier cosa. Y vas a aprender a calcularla desde la definición — antes de aprender los atajos del próximo capítulo.

3.1 La idea: cambio "ahorita mismo"

💡 Intuición

Imaginate que vas en un coche por la carretera Panamericana. El velocímetro marca 80 km/h. Esa es tu velocidad instantánea — qué tan rápido vas en este preciso momento, ni un segundo antes ni un segundo después.

Pero, ¿cómo se mide eso? Velocidad es distancia dividida entre tiempo. Si el tiempo es cero, entonces la distancia recorrida también es cero, y obtenés $\frac{0}{0}$ — indeterminado. Sin embargo, el velocímetro marca un número concreto.

La forma de hacerlo riguroso es exactamente la del capítulo anterior — un límite:

Velocidad instantánea = qué tan lejos vas en un intervalo de tiempo cada vez más chico, dividido entre la duración de ese intervalo.

A medida que el intervalo se acerca a cero, la velocidad media (distancia / tiempo) se acerca a un número específico — la velocidad instantánea. Ese límite es la derivada.

La derivada es lo que te permite hablar con sentido sobre cambio en un instante, sin caer en la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

Una segunda forma de verlo (gráficamente): si dibujás la posición del coche en función del tiempo, obtenés una curva. La velocidad instantánea en cualquier punto de esa curva es la pendiente de la recta tangente ahí. La derivada es exactamente eso: la pendiente.

Posición → derivar → velocidad. Velocidad → derivar → aceleración. Lo viste prometido en física, ahora lo vas a entender.

📜 Historia

La derivada fue descubierta dos veces, casi al mismo tiempo, por dos genios que se odiaban.

Isaac Newton (1643-1727), en Inglaterra, la formuló alrededor de 1666 mientras estaba aislado en su pueblo natal por la peste bubónica. La llamó fluxión y la denotó con un punto sobre la variable: $\dot{x}$ .

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), en Alemania, la descubrió de forma independiente unos años después y la publicó primero, en 1684. Usó la notación $\frac{dy}{dx}$ , sugerente: $dy$ es un cambio diminuto en $y$ , $dx$ es un cambio diminuto en $x$ , y la derivada es el cociente de ambos.

Estalló una guerra de prioridad. Newton acusó a Leibniz de plagio. La Royal Society de Londres (de la que Newton era presidente) hizo un "comité imparcial" para investigar. El comité concluyó a favor de Newton — sin sorpresas, dado que el comité fue armado por Newton mismo.

Leibniz murió en 1716, en relativa pobreza, su reputación arruinada en el mundo angloparlante. Inglaterra se aferró a la notación de Newton ( $\dot{x}$ , $\dot{\dot{x}}$ ) durante 100 años, mientras el resto de Europa adoptó la de Leibniz ( $\frac{dy}{dx}$ ). Inglaterra quedó tan atrasada matemáticamente que durante el siglo XVIII apenas produjo matemática original.

El veredicto histórico hoy: ambos descubrieron el cálculo de manera independiente. Newton lo hizo primero, Leibniz publicó primero, y la notación de Leibniz ganó porque era simplemente mejor. Es la que vas a usar todo el resto de tu carrera.

3.2 La definición formal

📐 Fundamento

Definición. Sea $f$ una función. La derivada de $f$ en el punto $a$ es:

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

(siempre que el límite exista). Si el límite existe, decimos que $f$ es derivable (o diferenciable) en $a$ .

Cómo leer la fórmula. El numerador $f(a + h) - f(a)$ es el cambio en $y$ cuando $x$ pasa de $a$ a $a + h$ . El denominador $h$ es ese cambio en $x$ . El cociente es la pendiente de una recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ . Cuando $h \to 0$ , esa secante se vuelve la recta tangente, y su pendiente es la derivada.

Si esa derivada existe en cada punto del dominio de $f$ , decimos que $f$ es derivable a secas, y $f'$ es la función derivada — una nueva función que asigna a cada $x$ la pendiente de $f$ en ese punto.

Notaciones equivalentes — TODAS significan lo mismo:

Notación	Quién la inventó	Cuándo se usa
$f'(x)$	Lagrange (~1797)	Algebra, cuando se piensa en $f$ como función
$\frac{df}{dx}$ ó $\frac{dy}{dx}$	Leibniz (1684)	Análisis, ecuaciones diferenciales, sustituciones
$\dot{x}$ ó $\dot{f}$	Newton (~1666)	Solo cuando la variable independiente es el tiempo (mecánica)
$Df(x)$	Euler	Algunos textos modernos

En este libro usamos principalmente $f'(x)$ y $\frac{df}{dx}$ , intercambiables según convenga.

3.3 Calculando derivadas desde la definición

🛠️ En la práctica

Antes de los atajos del próximo capítulo, vamos a derivar a mano desde la definición. Es lento, pero te muestra de dónde vienen las fórmulas y por qué son creíbles.

Ejemplo 1. Derivar $f(x) = x^2$ .

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}

Expandimos el numerador: $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$ .

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}

Cancelamos $h$ :

= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x

Resultado: $f'(x) = 2x$ . La pendiente de $x^2$ en cualquier punto $x$ es $2x$ .

Verificación geométrica. En $x = 0$ : $f'(0) = 0$ — la pendiente es horizontal, lo cual es correcto porque $x^2$ tiene un mínimo ahí. En $x = 3$ : $f'(3) = 6$ — la curva sube empinada. Coherente.

Ejemplo 2. Derivar $f(x) = \sqrt{x}$ (para $x > 0$ ).

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}

Aquí no podemos cancelar directamente. Multiplicamos por el conjugado:

\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}

Tomando límite cuando $h \to 0$ :

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 3. Derivar una constante $f(x) = c$ .

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

La derivada de una constante es cero — porque una constante no cambia.

Ejemplo 4. Derivar $f(x) = mx + b$ (cualquier función lineal).

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{m(x+h) + b - mx - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{mh}{h} = m

La derivada de una recta es su pendiente. Era de esperarse — una recta tiene pendiente constante en todos lados.

3.4 Tres interpretaciones (la misma idea, tres disfraces)

📐 Fundamento

La derivada aparece en tres contextos. Es la misma matemática en cada uno — solo cambia el problema concreto que resuelve.

Interpretación 1: Pendiente.

Si $f$ es una función matemática y su gráfica es una curva, $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(a, f(a))$ .

La ecuación de la recta tangente es:

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

(forma punto-pendiente).

Interpretación 2: Velocidad instantánea.

Si $x(t)$ es la posición de un objeto en función del tiempo, $x'(t) = \frac{dx}{dt}$ es la velocidad instantánea — qué tan rápido cambia la posición ahora. Es lo que viste en cinemática 1D.

Interpretación 3: Razón de cambio.

Más generalmente, si $y$ depende de $x$ y querés saber qué tan rápido cambia $y$ cuando cambia $x$ , la respuesta es $\frac{dy}{dx}$ .

Contexto	$y$	$x$	$\frac{dy}{dx}$ significa
Geometría	altura curva	abscisa	pendiente local
Mecánica	posición	tiempo	velocidad
Termodinámica	volumen	presión	razón de expansión
Economía	costo total	unidades producidas	costo marginal
Demografía	población	tiempo	tasa de crecimiento
Química	concentración	tiempo	velocidad de reacción

Toda la utilidad del cálculo viene de que muchísimas cantidades del mundo real cambian con respecto a otras, y queremos saber a qué tasa. La derivada es la herramienta universal para esa pregunta.

3.5 Cuándo NO existe la derivada

📐 Fundamento

Una función puede ser continua y aún así no ser derivable en algún punto. Tres formas típicas de fallar:

Caso 1: Pico (esquina). La función tiene un cambio brusco de dirección. La pendiente "por la izquierda" no coincide con la "por la derecha".

Ejemplo clásico: $f(x) = |x|$ en $x = 0$ . Por la izquierda la pendiente es $-1$ , por la derecha es $+1$ . No hay un único valor para la tangente — no es derivable en $0$ .

Caso 2: Tangente vertical. La curva es continua pero la tangente es vertical. La pendiente es "infinita".

Ejemplo: $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x = 0$ . La tangente ahí es vertical, así que $f'(0)$ no existe.

Caso 3: Discontinuidad. Si la función ni siquiera es continua, mucho menos puede ser derivable.

Teorema importante. Si $f$ es derivable en $a$ , entonces $f$ es continua en $a$ .

El recíproco no se cumple: continuidad no implica derivabilidad. (El ejemplo $|x|$ lo prueba.)

Cómo lo decís en pocas palabras: "derivable implica continua, pero continua no siempre implica derivable".

⚠️ Trampa común

No confundas "derivable" con "tiene derivada igual a..."

Cuando la derivada en un punto sí existe pero es $0$ , la función ES derivable ahí — solo que su pendiente vale cero. La función $f(x) = x^2$ en $x = 0$ tiene $f'(0) = 0$ y es perfectamente derivable.

"Derivada cero" $\neq$ "no derivable".

No confundas "tangente vertical" con "asíntota vertical".

Una tangente vertical (caso 2 arriba) ocurre en una función continua; la curva pasa por el punto, simplemente con dirección vertical. Una asíntota vertical es una discontinuidad infinita; la función ni siquiera está definida ahí.

No olvides verificar la continuidad antes.

Si te preguntan "¿es derivable en $x = a$ ?", primero comprobá continuidad. Si la función ni siquiera es continua, ya está — no es derivable, y no tenés que calcular nada más.

3.6 Resumen visual

Si querés calcular $f'(a)$	Hacé...
Desde la definición	$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Geométricamente	Pendiente de la tangente en $(a, f(a))$
Como velocidad	$v(a) = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta x / \Delta t$
Verificación	Calculá límites laterales del cociente y comprobá que coinciden

3.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 3.1 — Derivar desde la definición

Calculá la derivada de cada función usando la definición $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ . NO uses fórmulas memorizadas.

a. $f(x) = 3x^2 - 5$

b. $f(x) = x^3$

c. $f(x) = \frac{1}{x}$

✏️ Ejercicio 3.2 — Recta tangente

La función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ tiene una gráfica parabólica.

a. Calculá $f'(x)$ . b. Encontrá la ecuación de la recta tangente en el punto $(1, 0)$ . c. ¿En qué punto la tangente es horizontal?

✏️ Ejercicio 3.3 — ¿Es derivable?

Determiná si cada función es derivable en el punto indicado. Justificá.

a. $f(x) = |x - 3|$ en $x = 3$ . b. $f(x) = x \cdot |x|$ en $x = 0$ . c. $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \ 2x - 1 & x > 1 \end{cases}$ en $x = 1$ .

✏️ Ejercicio 3.4 — Aplicación a velocidad

Una pelota se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba. Su altura está dada por $h(t) = 30 t - 5 t^2$ (metros, $t$ en segundos).

a. ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo? b. ¿En qué momento alcanza su altura máxima? c. ¿Cuál es esa altura máxima?

3.8 Para profundizar

Libro: Stewart, Cálculo de una variable, capítulo 2 (derivadas) y 3 (reglas de derivación). El capítulo siguiente nuestro va a cubrir las reglas (suma, producto, cadena, etc.) que te ahorran calcular desde la definición.
Visualización: los videos de 3Blue1Brown "Essence of Calculus", episodio 2 ("La derivada paradoja"), tienen una visualización geométrica espectacular del paso de secante a tangente.
Próximo capítulo: Reglas de derivación — atajos para no usar la definición cada vez. Una vez sepas las reglas, derivar se vuelve mecánico.

Definiciones nuevas en este capítulo: derivada en un punto, función derivable, derivada como función, recta tangente, razón de cambio, no-derivabilidad.

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