Glosario — Cálculo Diferencial

A

Aproximación lineal. $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ cerca de $a$. La idea base de Newton, Taylor y muchos métodos numéricos.

Asíntota. Recta a la cual la gráfica se acerca sin tocar. Vertical: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. Horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

C

Cadena (regla de la). $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. La regla más usada en la práctica.

Concavidad. Una función es cóncava hacia arriba donde $f''(x) > 0$ (curva sonrisa), cóncava hacia abajo donde $f''(x) < 0$ (curva ceño).

Continuidad. $f$ es continua en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Equivalente: existe $f(a)$, existe el límite, son iguales.

Criterio de la primera derivada. Para clasificar puntos críticos: si $f'$ pasa de + a − en $c$, hay máximo local; si de − a +, mínimo local.

Criterio de la segunda derivada. En un punto crítico $c$: si $f''(c) > 0$, mínimo; si $f''(c) < 0$, máximo; si $f''(c) = 0$, no concluyente.

D

Derivada. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Mide la tasa de cambio instantánea de $f$ en $x$.

Discontinuidad. Un punto donde $f$ no es continua. Tipos: evitable (límite existe pero $f$ no está definida o lo está con valor distinto), de salto (límites laterales distintos), infinita (límites $\pm\infty$).

Diferenciable. Una función es diferenciable en $a$ si su derivada existe en $a$. Implica continuidad — pero no al revés ($|x|$ es continua en 0 pero no diferenciable).

E

Extremo absoluto. Máximo o mínimo de $f$ en todo su dominio (o un intervalo dado). En un cerrado $[a,b]$, una función continua siempre alcanza extremos absolutos (Weierstrass).

Extremo local. Máximo o mínimo en un entorno de un punto. Todo extremo local en interior es punto crítico.

I

Indeterminación. Forma del límite que no se resuelve por sustitución directa: $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$. Se resuelven con factorización, racionalización, L'Hôpital, etc.

L

L'Hôpital (regla de). Si $\lim f/g$ es $0/0$ o $\infty/\infty$, entonces $\lim f/g = \lim f'/g'$ (cuando este último existe). Solo aplica a esas dos formas.

Límite. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$. Definición $\varepsilon$-$\delta$ para rigurosidad.

Límite lateral. $\lim_{x \to a^-}$ por izquierda, $\lim_{x \to a^+}$ por derecha. El límite existe si y solo si los dos coinciden.

M

Máximo / mínimo absoluto. Valor más grande / más pequeño que toma la función en un dominio dado.

N

Newton (método de). Iteración $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ para hallar raíces. Convergencia cuadrática (rápida) cerca de la raíz, pero puede divergir si la inicial está lejos.

P

Pendiente. En una recta, $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. La derivada es la pendiente de la recta tangente.

Punto crítico. Punto del dominio donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existe. Candidatos a extremos.

Punto de inflexión. Punto donde la concavidad cambia. Suele coincidir con $f''(x) = 0$, pero hay que verificar el cambio de signo.

R

Razón de cambio relacionada. Problema donde dos cantidades varían en el tiempo y se relacionan por una ecuación. Se deriva implícitamente respecto a $t$.

Recta tangente. A $f$ en $x = a$: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

T

Tasa de cambio promedio. $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pendiente de la recta secante. La derivada es su límite cuando $b \to a$.

Teorema del valor medio. Si $f$ continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, existe $c \in (a,b)$ con $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

V

Velocidad / aceleración. Si $s(t)$ es posición, $s'(t)$ es velocidad, $s''(t)$ es aceleración. La derivada y su segunda derivada tienen interpretación física en mecánica.

Símbolos clave

• $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, $\dot y$ — notaciones de derivada.
• $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ — segunda derivada.
• $\to$ — tiende a.
• $\Delta x$ — incremento (diferencia finita).
• $\epsilon, \delta$ — usados en la definición formal de límite.

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