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Ejercicios — Cálculo Diferencial
Ejercicios — Cálculo Diferencial
Resolvé cada ejercicio en papel antes de mirar la solución. Cálculo se aprende haciendo , no leyendo.
Cap. 1 — Límites
1.1 — Límites directos (básico)
Calculá:
a) lim x → 2 ( 3 x 2 − x + 1 ) \lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1) lim x → 2 ( 3 x 2 − x + 1 )
b) lim x → 0 x 2 + 3 x x \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 + 3x}{x} lim x → 0 x x 2 + 3 x
c) lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} lim x → 1 x − 1 x 2 − 1
✅ Solución
a) Sustitución directa: 3 ( 4 ) − 2 + 1 = 11 3(4) - 2 + 1 = 11 3 ( 4 ) − 2 + 1 = 11
b) Indeterminación 0 / 0 0/0 0/0 x ( x + 3 ) x = x + 3 \frac{x(x+3)}{x} = x + 3 x x ( x + 3 ) = x + 3 3 3 3
c) Indeterminación 0 / 0 0/0 0/0 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x + 1 2 2 2
1.2 — Límites laterales (intermedio)
Sea f ( x ) = { x 2 + 1 si x < 1 3 x − 1 si x ≥ 1 f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \ 3x - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} f ( x ) = { x 2 + 1 3 x − 1 si x < 1 si x ≥ 1
¿Existe lim x → 1 f ( x ) \lim_{x \to 1} f(x) lim x → 1 f ( x )
✅ Solución
lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 + 1 = 2 \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2 lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 + 1 = 2 lim x → 1 + f ( x ) = 3 ( 1 ) − 1 = 2 \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3(1) - 1 = 2 lim x → 1 + f ( x ) = 3 ( 1 ) − 1 = 2
Coinciden, entonces el límite existe y vale 2 2 2
(Si no coincidieran, el límite no existiría aunque la función esté definida en x = 1 x=1 x = 1
1.3 — Indeterminación con raíz (avanzado)
Calculá lim x → 0 x + 1 − 1 x \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} lim x → 0 x x + 1 − 1
💡 Pista
Multiplicá arriba y abajo por el conjugado x + 1 + 1 \sqrt{x+1} + 1 x + 1 + 1
✅ Solución
( x + 1 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) x ( x + 1 + 1 ) = ( x + 1 ) − 1 x ( x + 1 + 1 ) = 1 x + 1 + 1 \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} x ( x + 1 + 1 ) ( x + 1 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) = x ( x + 1 + 1 ) ( x + 1 ) − 1 = x + 1 + 1 1 Tomando límite: 1 1 + 1 = 1 2 \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} 1 + 1 1 = 2 1
Cap. 2 — Continuidad
2.1 — ¿Es continua? (básico)
¿Es f ( x ) = x 2 − 9 x − 3 f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} f ( x ) = x − 3 x 2 − 9 x = 3 x = 3 x = 3
✅ Solución
f ( 3 ) f(3) f ( 3 ) lim x → 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) x − 3 = 6 \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = 6 lim x → 3 x − 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 6
Como el límite existe pero f ( 3 ) f(3) f ( 3 ) discontinuidad evitable (removable). Se puede definir f ( 3 ) = 6 f(3) = 6 f ( 3 ) = 6
Cap. 3 — La derivada
3.1 — Derivada por definición (intermedio)
Usando la definición f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} f ′ ( x ) = lim h → 0 h f ( x + h ) − f ( x ) f ( x ) = x 2 − 3 x f(x) = x^2 - 3x f ( x ) = x 2 − 3 x
✅ Solución
f ′ ( x ) = lim h → 0 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) − ( x 2 − 3 x ) h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - 3(x+h) - (x^2 - 3x)}{h} f ′ ( x ) = h → 0 lim h ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) − ( x 2 − 3 x ) = lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − 3 x − 3 h − x 2 + 3 x h = lim h → 0 2 x h + h 2 − 3 h h = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 3h}{h} = h → 0 lim h x 2 + 2 x h + h 2 − 3 x − 3 h − x 2 + 3 x = h → 0 lim h 2 x h + h 2 − 3 h = lim h → 0 ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x - 3 = h → 0 lim ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 Verificación con regla: d d x ( x 2 − 3 x ) = 2 x − 3 \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) = 2x - 3 d x d ( x 2 − 3 x ) = 2 x − 3
Cap. 4 — Reglas de derivación
4.1 — Regla del producto (básico)
Derivá f ( x ) = x 3 sin ( x ) f(x) = x^3 \sin(x) f ( x ) = x 3 sin ( x )
✅ Solución
f ′ ( x ) = 3 x 2 sin ( x ) + x 3 cos ( x ) f'(x) = 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) f ′ ( x ) = 3 x 2 sin ( x ) + x 3 cos ( x )
4.2 — Regla del cociente (intermedio)
Derivá f ( x ) = x 2 + 1 x − 1 f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x 2 + 1
✅ Solución
f ′ ( x ) = ( 2 x ) ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) ( x − 1 ) 2 = 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 f'(x) = \frac{(2x)(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} f ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( 2 x ) ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) = ( x − 1 ) 2 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 = ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1 4.3 — Regla de la cadena (intermedio)
Derivá f ( x ) = sin ( x 2 + 1 ) f(x) = \sin(x^2 + 1) f ( x ) = sin ( x 2 + 1 ) g ( x ) = ( 3 x 2 − 1 ) 5 g(x) = (3x^2 - 1)^5 g ( x ) = ( 3 x 2 − 1 ) 5
✅ Solución
f ′ ( x ) = cos ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x = 2 x cos ( x 2 + 1 ) f'(x) = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 2x \cos(x^2 + 1) f ′ ( x ) = cos ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x = 2 x cos ( x 2 + 1 )
g ′ ( x ) = 5 ( 3 x 2 − 1 ) 4 ⋅ 6 x = 30 x ( 3 x 2 − 1 ) 4 g'(x) = 5(3x^2 - 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 - 1)^4 g ′ ( x ) = 5 ( 3 x 2 − 1 ) 4 ⋅ 6 x = 30 x ( 3 x 2 − 1 ) 4
4.4 — Cadena con dos niveles (avanzado)
Derivá h ( x ) = sin ( 2 x ) h(x) = \sqrt{\sin(2x)} h ( x ) = sin ( 2 x )
✅ Solución
Pensar en h = u 1 / 2 h = u^{1/2} h = u 1/2 u = sin ( 2 x ) u = \sin(2x) u = sin ( 2 x )
h ′ ( x ) = 1 2 ( sin ( 2 x ) ) − 1 / 2 ⋅ cos ( 2 x ) ⋅ 2 = cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) h'(x) = \frac{1}{2}(\sin(2x))^{-1/2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x)}} h ′ ( x ) = 2 1 ( sin ( 2 x ) ) − 1/2 ⋅ cos ( 2 x ) ⋅ 2 = s i n ( 2 x ) c o s ( 2 x )
Cap. 5 — Aplicaciones
5.1 — Recta tangente (básico)
Encontrá la ecuación de la recta tangente a y = x 2 y = x^2 y = x 2 x = 3 x = 3 x = 3
✅ Solución
Punto: ( 3 , 9 ) (3, 9) ( 3 , 9 ) y ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 = 6 y'(3) = 2 \cdot 3 = 6 y ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 = 6 y − 9 = 6 ( x − 3 ) ⇒ y = 6 x − 9 y - 9 = 6(x - 3) \Rightarrow y = 6x - 9 y − 9 = 6 ( x − 3 ) ⇒ y = 6 x − 9
5.2 — Optimización (intermedio)
Una caja sin tapa de base cuadrada va a tener volumen V = 32 V = 32 V = 32
💡 Pista
Variables: lado x x x h h h x 2 h = 32 x^2 h = 32 x 2 h = 32 A = x 2 + 4 x h A = x^2 + 4xh A = x 2 + 4 x h
✅ Solución
De x 2 h = 32 ⇒ h = 32 / x 2 x^2 h = 32 \Rightarrow h = 32/x^2 x 2 h = 32 ⇒ h = 32/ x 2
A ( x ) = x 2 + 4 x ⋅ 32 x 2 = x 2 + 128 x A(x) = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x} A ( x ) = x 2 + 4 x ⋅ x 2 32 = x 2 + x 128
A ′ ( x ) = 2 x − 128 x 2 = 0 ⇒ 2 x 3 = 128 ⇒ x = 4 A'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x = 4 A ′ ( x ) = 2 x − x 2 128 = 0 ⇒ 2 x 3 = 128 ⇒ x = 4 h = 32 / 16 = 2 h = 32/16 = 2 h = 32/16 = 2
Verificación: A ′ ′ ( x ) = 2 + 256 / x 3 > 0 A''(x) = 2 + 256/x^3 > 0 A ′′ ( x ) = 2 + 256/ x 3 > 0 16 + 32 = 48 16 + 32 = 48 16 + 32 = 48
5.3 — Razones de cambio relacionadas (avanzado)
Una escalera de 5 m está apoyada contra una pared. La base se aleja a 0.3 m/s. ¿A qué velocidad cae la cima cuando la base está a 3 m de la pared?
✅ Solución
Sea x x x y y y x 2 + y 2 = 25 x^2 + y^2 = 25 x 2 + y 2 = 25
Derivando respecto a t t t 2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0 ⇒ y ˙ = − x x ˙ y 2x \dot x + 2y \dot y = 0 \Rightarrow \dot y = -\frac{x \dot x}{y} 2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0 ⇒ y ˙ = − y x x ˙
Cuando x = 3 x = 3 x = 3 y = 4 y = 4 y = 4 x ˙ = 0.3 \dot x = 0.3 x ˙ = 0.3 y ˙ = − 3 ⋅ 0.3 4 = − 0.225 \dot y = -\frac{3 \cdot 0.3}{4} = -0.225 y ˙ = − 4 3 ⋅ 0.3 = − 0.225
Negativo = la cima baja a 22.5 cm/s.
5.4 — L'Hôpital (intermedio)
Calculá lim x → 0 sin ( x ) x \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} lim x → 0 x sin ( x ) lim x → 0 1 − cos ( x ) x 2 \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2} lim x → 0 x 2 1 − cos ( x )
✅ Solución
a) lim sin x x \lim \frac{\sin x}{x} lim x s i n x 0 / 0 0/0 0/0 lim cos x 1 = 1 \lim \frac{\cos x}{1} = 1 lim 1 c o s x = 1
b) lim 1 − cos x x 2 \lim \frac{1 - \cos x}{x^2} lim x 2 1 − c o s x 0 / 0 0/0 0/0 lim sin x 2 x \lim \frac{\sin x}{2x} lim 2 x s i n x 0 / 0 0/0 0/0 lim cos x 2 = 1 2 \lim \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2} lim 2 c o s x = 2 1
Reto integrador
R.1 — Optimización del precio óptimo
La demanda diaria de pupusas en función del precio es D ( p ) = 200 − 50 p D(p) = 200 - 50p D ( p ) = 200 − 50 p p p p
a) Función de ingresos I ( p ) I(p) I ( p ) 0.30 / p u p u s a , f u n c i o ˊ n d e g a n a n c i a 0.30/pupusa, función de ganancia 0.30/ p u p u s a , f u n c i o ˊ n d e g anan c ia p g a n a n c i a > p i n g r e s o s p_{ganancia} > p_{ingresos} p g anan c ia > p in g r esos
✅ Solución
a) I ( p ) = p ⋅ D ( p ) = p ( 200 − 50 p ) = 200 p − 50 p 2 I(p) = p \cdot D(p) = p(200 - 50p) = 200p - 50p^2 I ( p ) = p ⋅ D ( p ) = p ( 200 − 50 p ) = 200 p − 50 p 2
b) I ′ ( p ) = 200 − 100 p = 0 ⇒ p = 2 I'(p) = 200 - 100p = 0 \Rightarrow p = 2 I ′ ( p ) = 200 − 100 p = 0 ⇒ p = 2
c) G ( p ) = I ( p ) − 0.30 D ( p ) = 200 p − 50 p 2 − 0.30 ( 200 − 50 p ) = 200 p − 50 p 2 − 60 + 15 p = − 50 p 2 + 215 p − 60 G(p) = I(p) - 0.30 D(p) = 200p - 50p^2 - 0.30(200 - 50p) = 200p - 50p^2 - 60 + 15p = -50p^2 + 215p - 60 G ( p ) = I ( p ) − 0.30 D ( p ) = 200 p − 50 p 2 − 0.30 ( 200 − 50 p ) = 200 p − 50 p 2 − 60 + 15 p = − 50 p 2 + 215 p − 60
d) G ′ ( p ) = − 100 p + 215 = 0 ⇒ p = 2.15 G'(p) = -100p + 215 = 0 \Rightarrow p = 2.15 G ′ ( p ) = − 100 p + 215 = 0 ⇒ p = 2.15 G ( 2.15 ) = 171.125 G(2.15) = 171.125 G ( 2.15 ) = 171.125
e) Cuando hay costos variables, vale la pena subir un poco el precio: vendés menos cantidad pero cada unidad cubre el costo + más margen. Maximizar ingresos ignora costos; maximizar ganancia los considera.
Sugerencias y correcciones: osielquevedo@gmail.com .