Técnicas de integración

"Diferenciar es una habilidad, integrar es un arte." — máxima atribuida a varios.

Qué vas a aprender en este capítulo

Para derivar tenemos cuatro reglas y todo se resuelve mecánicamente. Para integrar no existe esa receta universal — hay que reconocer la forma del integrando y elegir una técnica. En este capítulo vas a aprender las tres más importantes: sustitución (la regla de la cadena al revés), integración por partes (la regla del producto al revés) y fracciones parciales (descomponer cocientes en pedazos integrables). Con esas tres herramientas resolvés la inmensa mayoría de las integrales que vas a ver en ingeniería.

3.1 Por qué integrar es difícil

💡 Intuición

Derivar es siempre posible si la función está dada por una fórmula con las operaciones básicas. Hay un algoritmo: aplicás reglas, terminás.

Integrar es distinto. Hay funciones perfectamente bien comportadas — como $e^{-x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ , $\sqrt{1 + x^4}$ — cuya antiderivada no se puede expresar con funciones elementales. No es que sean difíciles: es que no existe una respuesta limpia.

Por eso integrar es un arte: hay que reconocer patrones en el integrando y aplicar la técnica adecuada. A veces ninguna funciona, y entonces se recurre a métodos numéricos (que ves en Análisis Numérico, cuarto ciclo).

Las tres técnicas de este capítulo cubren probablemente el 90% de las integrales que vas a encontrar en problemas reales. Aprenderlas bien es una de las habilidades más rentables del cálculo.

3.2 Sustitución ( $u$ -sub)

📐 Fundamento

La sustitución es la regla de la cadena al revés. Recordá la cadena para derivar:

\frac{d}{dx} F(g(x)) = F'(g(x)) \cdot g'(x)

Integrando ambos lados:

\int F'(g(x)) \, g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

Cómo se usa. Si reconocés que el integrando tiene la forma $f(g(x)) \cdot g'(x)$ , hacés el cambio $u = g(x)$ , $du = g'(x) dx$ :

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

Receta práctica:

Mirá el integrando. Buscá una función adentro de otra.
Llamá $u$ a la función "interna".
Calculá $du = u' , dx$ y comprobá si aparece (multiplicada) en el integrando.
Sustituí. Integrá en términos de $u$ .
Volvé a $x$ al final.

Ejemplo 1. $\int 2x , e^{x^2} , dx$ .

Veo $e^{x^2}$ — adentro hay $x^2$ . Pruebo $u = x^2$ , $du = 2x , dx$ . ¡El $2x , dx$ aparece!

\int 2x \, e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C

Ejemplo 2. $\int \frac{x}{x^2 + 1} , dx$ .

Pruebo $u = x^2 + 1$ , $du = 2x , dx$ . Tengo $x , dx$ pero quiero $2x , dx$ . Multiplico y divido:

\int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C

Ejemplo 3. $\int \sin^3 x \cos x , dx$ .

Pruebo $u = \sin x$ , $du = \cos x , dx$ . ¡Perfecto!

\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C

Sustitución en integrales definidas. Hay dos opciones:

Antiderivar usando sustitución, después evaluar.
Cambiar también los límites de integración a la variable $u$ . Esta opción es más limpia.

Ejemplo: $\int_0^1 2x , e^{x^2} , dx$ . Con $u = x^2$ : cuando $x = 0$ , $u = 0$ ; cuando $x = 1$ , $u = 1$ . Entonces:

\int_0^1 e^u \, du = e^1 - e^0 = e - 1

⚠️ Trampa común

Olvidar el $du$ . Cuando hacés $u = g(x)$ , el factor $g'(x) , dx$ tiene que estar en el integrando (eventualmente con un factor numérico). Si no aparece, esa sustitución no sirve.

Ejemplo de qué NO funciona. $\int e^{x^2} dx$ . Si pruebo $u = x^2$ , necesito $2x , dx$ , pero no tengo $x$ en el integrando. Esa integral no tiene antiderivada elemental — no la podés resolver, punto.

Hacer la cuenta solo en términos de $u$ . Cuando convertís $dx$ a $du$ , la $x$ tiene que desaparecer del todo. Si quedó alguna $x$ suelta, la sustitución está mal hecha.

3.3 Integración por partes

📐 Fundamento

Integración por partes es la regla del producto al revés. Recordá:

\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'

Integrando:

uv = \int u'v \, dx + \int uv' \, dx

Despejando una integral:

\boxed{\int u \, dv = uv - \int v \, du}

donde $u, v$ son funciones de $x$ , $du = u' dx$ y $dv = v' dx$ .

Cuándo usarla. Cuando el integrando es un producto de dos funciones de tipo distinto y la sustitución no funciona. Casos clásicos:

polinomio $\times$ exponencial: $\int x e^x dx$ .
polinomio $\times$ trigonométrica: $\int x \sin x , dx$ .
polinomio $\times$ logaritmo: $\int x \ln x , dx$ .
exponencial $\times$ trigonométrica: $\int e^x \sin x , dx$ .

Cómo elegir $u$ y $dv$ . Mnemónico LIATE, en orden de prioridad para escoger $u$ :

| L | Logaritmos | | I | Inversas trigonométricas | | A | Algebraicas (polinomios) | | T | Trigonométricas | | E | Exponenciales |

Lo que esté más arriba en la lista, lo elegís como $u$ . Lo restante es $dv$ .

Ejemplo 1. $\int x e^x , dx$ .

LIATE: $x$ es algebraica (A), $e^x$ es exponencial (E). A va antes que E. Entonces $u = x$ , $dv = e^x dx$ .

$du = dx$ .
$v = \int e^x dx = e^x$ .

\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Ejemplo 2. $\int \ln x , dx$ .

Sólo hay un factor visible, $\ln x$ . Truco: $\ln x = \ln x \cdot 1$ . Aplicamos partes: $u = \ln x$ , $dv = 1 , dx$ .

$du = \frac{1}{x} dx$ .
$v = x$ .

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C

Ejemplo 3 — partes dos veces. $\int x^2 \sin x , dx$ .

LIATE: $x^2$ algebraica, $\sin x$ trig. $u = x^2$ , $dv = \sin x , dx$ .

$du = 2x , dx$ , $v = -\cos x$ .

\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx

Ahora aplicamos partes a $\int x \cos x , dx$ . $u = x$ , $dv = \cos x , dx$ .

$du = dx$ , $v = \sin x$ .

\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C

Sustituyendo:

\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C

Ejemplo 4 — el truco circular. $\int e^x \sin x , dx$ .

Acá ninguna elección "rebaja" el integrando — los exponenciales y trigonométricos no se vuelven más simples al derivar o integrar. Pero podemos aplicar partes dos veces y volver al inicio.

$u = \sin x$ , $dv = e^x dx$ . Entonces $du = \cos x , dx$ , $v = e^x$ :

I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx

Ahora a $\int e^x \cos x , dx$ aplicamos partes con $u = \cos x$ , $dv = e^x dx$ :

\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I

Sustituyendo:

I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I) = e^x \sin x - e^x \cos x - I

Despejando $I$ :

2I = e^x \sin x - e^x \cos x \Rightarrow I = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C

Hermoso truco: la integral aparece en su propio resultado y la despejás como una incógnita.

3.4 Fracciones parciales

📐 Fundamento

Para integrales de funciones racionales (cocientes de polinomios), donde el grado del numerador es menor que el del denominador, la técnica es descomponer en fracciones parciales — escribir el cociente como suma de fracciones más simples.

Ejemplo motivador. $\int \frac{1}{x^2 - 1} , dx$ .

Notemos que $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Buscamos $A, B$ tales que:

\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$ :

1 = A(x+1) + B(x-1)

Truco para encontrar $A, B$ rápido: evaluar en raíces convenientes.

$x = 1$ : $1 = A \cdot 2 \Rightarrow A = 1/2$ .
$x = -1$ : $1 = B \cdot (-2) \Rightarrow B = -1/2$ .

Ahora la integral se vuelve fácil:

\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C

Casos según la factorización del denominador:

Caso 1: factores lineales distintos.

\frac{P(x)}{(x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n)} = \frac{A_1}{x - a_1} + \frac{A_2}{x - a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - a_n}

Caso 2: factor lineal repetido. Si $(x - a)^k$ aparece, agregás $k$ términos:

\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x - a)^k}

Caso 3: factor cuadrático irreducible. Si $ax^2 + bx + c$ no se factoriza en reales ( $b^2 - 4ac < 0$ ):

\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}

Si el grado del numerador es $\geq$ que el del denominador, primero hacés división polinómica y trabajás con el cociente más el residuo.

Ejemplo más elaborado. $\int \frac{2x + 3}{x^2 - x - 2} dx$ .

Factorizamos el denominador: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ .

\frac{2x + 3}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

$2x + 3 = A(x+1) + B(x-2)$ .

$x = 2$ : $7 = 3A \Rightarrow A = 7/3$ .
$x = -1$ : $1 = -3B \Rightarrow B = -1/3$ .

Integramos:

\int \frac{2x+3}{x^2 - x - 2} dx = \frac{7}{3} \ln|x - 2| - \frac{1}{3} \ln|x+1| + C

3.5 Estrategia general

🛠️ En la práctica

Cuando te dan una integral, antes de empezar a calcular, revisá esta lista mental:

¿Es directa? ¿Está en la tabla de antiderivadas básicas? Si sí, listo.
¿Hay una composición visible? Probá sustitución. Si el integrando contiene $f(g(x))$ y $g'(x)$ aparece (con factor), $u = g(x)$ funciona.
¿Es un producto de funciones de distinto tipo? Probá partes (LIATE).
¿Es un cociente de polinomios? Probá fracciones parciales (después de simplificar si el grado del numerador es alto).
¿Es trigonométrica con potencias raras? Hay identidades específicas (no las cubrimos en este capítulo, pero existen).
¿Tiene raíces como $\sqrt{a^2 - x^2}$ , $\sqrt{a^2 + x^2}$ , $\sqrt{x^2 - a^2}$ ? Probá sustitución trigonométrica (otra técnica que se ve en libros más extensos).
Si nada funciona, considerá que la integral simplemente no tiene antiderivada elemental y recurrí a métodos numéricos.

Ejemplos de aplicación de la estrategia:

Integral	Técnica	Por qué
$\int x \cos(x^2) dx$	sustitución	$u = x^2$ , $du = 2x , dx$ aparece
$\int x \cos x , dx$	partes	producto polinomio × trig
$\int \frac{x+1}{x^2 + 4x + 3} dx$	fracciones parciales	racional, factorizable
$\int \frac{1}{x \ln x} dx$	sustitución	$u = \ln x$
$\int \arctan x , dx$	partes	$u = \arctan x$ , $dv = dx$

3.6 Aplicaciones de la integración

🛠️ En la práctica

Área entre dos curvas. El área entre $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ , donde $f \geq g$ :

A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx

Volumen de revolución (método del disco). Si una región plana $0 \leq y \leq f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$ rota alrededor del eje $x$ :

V = \int_a^b \pi \, [f(x)]^2 \, dx

(cada "rebanada" es un disco circular de radio $f(x)$ ).

Ejemplo. Volumen del sólido al rotar $y = \sqrt{x}$ entre $0$ y $4$ :

V = \int_0^4 \pi \, x \, dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^4 = 8\pi

Trabajo, distancia, masa. Cualquier cantidad que sea "una densidad por una longitud (o tiempo, o área)" se calcula con una integral. La densidad puede ser variable; la integral suma todos los pedacitos.

Promedio de una función.

\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx

Es la altura constante que daría la misma área. Para temperatura, presión, velocidad, etc.

3.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 3.1 — Sustitución

Calculá:

a. $\int (3x + 5)^7 , dx$ b. $\int x \sqrt{x^2 + 1} , dx$ c. $\int \frac{\cos(\ln x)}{x} dx$ d. $\int \tan x , dx$ (pista: $\tan x = \sin x / \cos x$ )

✏️ Ejercicio 3.2 — Partes

Calculá:

a. $\int x \cos x , dx$ b. $\int x^2 \ln x , dx$ c. $\int \arctan x , dx$

✏️ Ejercicio 3.3 — Fracciones parciales

Calculá:

a. $\int \frac{1}{x^2 - 4} dx$ b. $\int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6} dx$

✏️ Ejercicio 3.4 — Aplicación

Una región plana está acotada por $y = x^2$ y $y = 2x$ . Calculá:

a. El área de la región. b. El volumen del sólido obtenido al girar la región alrededor del eje $x$ .

3.8 Para profundizar

Stewart, Cálculo, capítulos 7 y 8. Cubre estas técnicas con muchísimos ejemplos, además de sustituciones trigonométricas.
Tablas de integrales. Como las del Schaum o Gradshteyn-Ryzhik. Útiles cuando trabajés en ingeniería real.
Métodos numéricos (Simpson, trapecio, Romberg) — cuando la antiderivada no existe en forma cerrada. Lo ves en Análisis Numérico.
Curso siguiente: Cálculo III (multivariable) — integrales dobles, triples, de línea, de superficie. La generalización natural.

Definiciones nuevas: sustitución, integración por partes, fracciones parciales, sustitución trigonométrica (mención), división polinómica.

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Técnicas de integración

Qué vas a aprender en este capítulo

3.1 Por qué integrar es difícil

3.2 Sustitución (uuu-sub)

3.3 Integración por partes

3.4 Fracciones parciales

3.5 Estrategia general

3.6 Aplicaciones de la integración

3.7 Ejercicios

3.8 Para profundizar

3.2 Sustitución ( $u$ -sub)