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La antiderivada

"Yo no derivé las leyes del cálculo; las descubrí. Ya estaban ahí." — atribuido a Newton.

Qué vas a aprender en este capítulo

Vas a aprender a deshacer una derivada. Si te dan la velocidad de un coche en función del tiempo, ¿podés recuperar la posición? Si te dan la pendiente de una curva en cada punto, ¿podés recuperar la curva? Esa operación inversa se llama antiderivada, y es la primera mitad del cálculo integral.

1.1 La idea: revertir la derivada

💡 Intuición

Si tomamos la función F(x)=x3F(x) = x^3 y la derivamos, obtenemos F′(x)=3x2F'(x) = 3x^2. La pregunta inversa es la siguiente: si te doy f(x)=3x2f(x) = 3x^2, ¿podés decirme de qué función vino?

La respuesta más obvia es F(x)=x3F(x) = x^3. Pero pensalo de nuevo: G(x)=x3+5G(x) = x^3 + 5 también funciona, porque G′(x)=3x2G'(x) = 3x^2. Y H(x)=x3−1000H(x) = x^3 - 1000, también. Cualquier función de la forma x3+Cx^3 + C, donde CC es una constante, tiene la misma derivada.

Las constantes desaparecen al derivar. Por eso, cuando hacemos el camino inverso, no hay una sola respuesta — hay una familia infinita de antiderivadas, todas separadas por una constante.

Si conocés la velocidad de un coche, podés decir cómo cambió de posición — pero no podés saber dónde estaba al inicio sin información adicional. La constante CC representa esa "posición inicial desconocida".

Esto es importante. La derivada nos quita información (la altura absoluta de la función, deja solo la pendiente). La antiderivada no la puede recuperar mágicamente — solo recupera la forma, hasta la constante.

📜 Historia

Newton y Leibniz, ambos en la década de 1660-70 e independientemente, descubrieron que derivar e integrar son operaciones inversas. Esa observación — que llamamos hoy el teorema fundamental del cálculo — es uno de los resultados más importantes en la historia de las matemáticas.

Pero usaron lenguajes muy distintos:

  • Newton habló de fluxiones (lo que hoy llamamos derivadas) y fluentes (antiderivadas). Su notación era x˙\dot{x} para la fluxion, x˙˙\dot{\dot{x}} para la segunda. Fea, hay que decirlo. Casi nadie la usa hoy.
  • Leibniz introdujo dydx\frac{dy}{dx} para la derivada y ∫y dx\int y , dx para la integral. La ∫\int es una S alargada, de "summa" — la idea de que integrar es sumar muchas cosas pequeñas. Esta notación es la que ganó. Es la que vos vas a usar todo el resto de tu carrera.

Hubo una pelea fea sobre quién había descubierto primero el cálculo. Newton acusó a Leibniz de plagio. Leibniz murió en relativa pobreza, su reputación dañada. Hoy aceptamos que ambos lo descubrieron de manera independiente, y la matemática moderna usa principalmente la notación de Leibniz porque es más clara.

1.2 Definición y notación

📐 Fundamento

Definición. Una función FF es una antiderivada de ff en un intervalo II si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) para todo x∈Ix \in I.

Teorema de unicidad hasta una constante. Si FF y GG son ambas antiderivadas de ff en un intervalo, entonces existe una constante CC tal que:

G(x)=F(x)+CG(x) = F(x) + C

En palabras: dos antiderivadas de la misma función difieren solo en una constante. La familia de todas las antiderivadas de ff se denota:

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C

donde:

  • ∫\int es el signo de integral (S alargada de "summa", introducida por Leibniz).
  • f(x)f(x) es el integrando — la función que querés antiderivar.
  • dxdx indica que estás integrando respecto a la variable xx.
  • F(x)F(x) es una antiderivada cualquiera.
  • CC es la constante de integración — recordatorio de que hay infinitas.

Importantísimo: ∫f(x) dx\int f(x) , dx se llama integral indefinida y representa una familia de funciones, no una función única. Eso es distinto de la integral definida ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) , dx — la del próximo capítulo — que sí es un solo número (el área bajo la curva).

Olvidarte de poner el +C+ C es uno de los errores más castigados en los parciales de cálculo integral. Si la primera vez te lo perdonan, la segunda no.

1.3 Tabla de antiderivadas básicas

📐 Fundamento

Toda la "antiderivación" se construye a partir de unas pocas reglas básicas, derivadas (literalmente) reversando las fórmulas de derivación.

Potencias.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)

Verificá: derivá la respuesta y deberías recuperar xnx^n. La condición n≠−1n \neq -1 existe porque si n=−1n = -1 el denominador se anula. Para ese caso especial:

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

(El valor absoluto es porque ln⁡\ln solo está definido para argumentos positivos, pero 1x\frac{1}{x} está definido también para x<0x < 0.)

Exponencial.

∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C

(Es la única función conocida que es su propia derivada — y por tanto su propia antiderivada.)

∫ax dx=axln⁡a+C(a>0,a≠1)\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \qquad (a > 0, a \neq 1)

Trigonométricas.

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C \qquad \int \sin x \, dx = -\cos x + C
∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \qquad \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C

Esto es lo mínimo que tenés que tener memorizado. El resto se deduce de combinar estas con las reglas de la próxima sección.

1.4 Reglas de combinación: linealidad

📐 Fundamento

La integral indefinida es lineal, lo que significa dos cosas:

1. Las constantes salen. Si kk es una constante:

∫k⋅f(x) dx=k∫f(x) dx\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx

2. Las sumas se distribuyen.

∫[f(x)+g(x)] dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

Combinadas, podés "romper" cualquier integral de una suma en pedazos más simples y atacarlos uno por uno.

Cuidado: NO existe una regla análoga para productos o cocientes.

∫[f(x)⋅g(x)] dx≠(∫f(x) dx)⋅(∫g(x) dx)\int [f(x) \cdot g(x)] \, dx \neq \left( \int f(x) \, dx \right) \cdot \left( \int g(x) \, dx \right)

Esto es el error más común en cálculo integral. Para productos hay otras técnicas (integración por partes, sustitución) que vamos a ver más adelante. Pero nunca distribuyas la integral sobre un producto.

🛠️ En la práctica

Ejemplos resueltos paso a paso.

Ejemplo 1. ∫(3x2+5x−7) dx\int (3x^2 + 5x - 7) , dx

Por linealidad, lo separamos:

=3∫x2 dx+5∫x dx−7∫1 dx= 3 \int x^2 \, dx + 5 \int x \, dx - 7 \int 1 \, dx

Aplicamos la regla de potencias:

=3⋅x33+5⋅x22−7x+C= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C
=x3+5x22−7x+C= x^3 + \frac{5x^2}{2} - 7x + C

Verificación. Derivá: 3x2+5x−73x^2 + 5x - 7. ✓

Ejemplo 2. ∫1x dx\int \frac{1}{\sqrt{x}} , dx

Reescribí como potencia: 1x=x−1/2\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.

∫x−1/2 dx=x1/21/2+C=2x+C\int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C

Ejemplo 3. ∫(ex−4x+cos⁡x)dx\int \left( e^x - \frac{4}{x} + \cos x \right) dx

=ex−4ln⁡∣x∣+sin⁡x+C= e^x - 4 \ln|x| + \sin x + C

Ejemplo 4 — un truco. ∫x2+3x+1x dx\int \frac{x^2 + 3x + 1}{x} , dx

No tenés regla de cocientes. Pero podés dividir antes de integrar:

x2+3x+1x=x+3+1x\frac{x^2 + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x}
∫(x+3+1x)dx=x22+3x+ln⁡∣x∣+C\int \left( x + 3 + \frac{1}{x} \right) dx = \frac{x^2}{2} + 3x + \ln|x| + C

Moraleja: antes de buscar técnicas avanzadas, mirá si el integrando se puede simplificar algebraicamente.

1.5 Sustitución elemental (uu-sustitución)

📐 Fundamento

Las reglas básicas no cubren ∫2xcos⁡(x2) dx\int 2x \cos(x^2) , dx. Pero esa integral tiene una pinta especial: hay una función "compuesta" (cos⁡(x2)\cos(x^2)) y, justo afuera, aparece la derivada de la función interna (2x2x es la derivada de x2x^2). Eso no es coincidencia — es la regla de la cadena al revés.

Cómo funciona. Si ∫f(g(x))⋅g′(x) dx\int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx, hacemos el cambio de variable u=g(x)u = g(x). Entonces du=g′(x) dxdu = g'(x) , dx, y la integral se vuelve:

∫f(u) du\int f(u) \, du

que (si tuvimos suerte) es una integral básica.

Ejemplo 1. ∫2xcos⁡(x2) dx\int 2x \cos(x^2) , dx

Sea u=x2u = x^2. Entonces du=2x dxdu = 2x , dx. La integral se vuelve:

∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\int \cos(u) \, du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C

Verificación. ddx[sin⁡(x2)]=cos⁡(x2)⋅2x\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x. ✓

Ejemplo 2. ∫1xln⁡x dx\int \frac{1}{x \ln x} , dx

Sea u=ln⁡xu = \ln x. Entonces du=1x dxdu = \frac{1}{x} , dx.

∫1u du=ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣ln⁡x∣+C\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C

Cómo elegir uu. Mirá adentro de la composición y elegí "lo de adentro". El truco está en que la derivada de eso aparezca multiplicada afuera, posiblemente con una constante.

Ejemplo 3 — ajuste de constante. ∫e3x dx\int e^{3x} , dx

Sea u=3xu = 3x. Entonces du=3 dxdu = 3 , dx, así que dx=du3dx = \frac{du}{3}.

∫eu⋅du3=13eu+C=e3x3+C\int e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{e^{3x}}{3} + C

A menudo te toca multiplicar y dividir por una constante para que las cosas calcen.

1.6 Cuando NO podés antiderivar

⚠️ Trampa común

No toda función tiene una antiderivada "elemental".

Una función elemental es una combinación finita de polinomios, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. La derivada de una función elemental siempre es elemental — pero la antiderivada no necesariamente lo es.

Ejemplos célebres de funciones cuya antiderivada no se puede expresar en forma cerrada:

  • ∫e−x2 dx\int e^{-x^2} , dx — la base de la distribución normal en estadística. Su antiderivada se llama "función error" erf(x)\text{erf}(x) y se calcula numéricamente.
  • ∫sin⁡xx dx\int \frac{\sin x}{x} , dx — el "seno integral", crucial en óptica y procesamiento de señales.
  • ∫1+x4 dx\int \sqrt{1 + x^4} , dx, ∫ex2 dx\int e^{x^2} , dx, ∫1ln⁡x dx\int \frac{1}{\ln x} , dx.

No estás haciendo nada mal si no podés resolverlas. Liouville demostró en 1834 que algunas integrales son genuinamente inexpresables en términos elementales. Para esos casos, la respuesta es numérica (igual que las raíces irracionales de un polinomio).

Moraleja: si llevás 20 minutos peleando con una integral y nada funciona, primero verificá que sí tenga antiderivada elemental. A veces simplemente no se puede.

1.7 Resumen visual

Si tenés... Probá...
Una suma o resta Linealidad: separá y atacá cada pedazo
Una potencia xnx^n Regla xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}
1x\frac{1}{x} ln⁡∥x∥\ln |x|
exe^{x} o sin⁡x\sin x o cos⁡x\cos x Memorizado
Composición f(g(x))f(g(x)) con g′(x)g'(x) visible Sustitución u=g(x)u = g(x)
Producto que no es composición Integración por partes (próximos capítulos)
Cociente con polinomio Dividir primero, antiderivar después

1.8 Ejercicios

✏️ Ejercicio 1.1 — Reglas básicas

Calculá las siguientes antiderivadas. No olvides el +C+ C.

a. ∫(4x3−6x2+2x−5) dx\int (4x^3 - 6x^2 + 2x - 5) , dx

b. ∫(x+1x2)dx\int \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx

c. ∫(3cos⁡x−2ex) dx\int (3 \cos x - 2 e^x) , dx

d. ∫x3−2x+1x2 dx\int \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} , dx

Solución

a. x4−2x3+x2−5x+Cx^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + C

b. x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, antiderivada 23x3/2\frac{2}{3} x^{3/2}. 1x2=x−2\frac{1}{x^2} = x^{-2}, antiderivada x−1−1=−1x\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}. Resultado: 23x3/2−1x+C\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{x} + C.

c. 3sin⁡x−2ex+C3 \sin x - 2 e^x + C

d. Dividí: x−2x+1x2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}. Antiderivada: x22−2ln⁡∣x∣−1x+C\frac{x^2}{2} - 2 \ln|x| - \frac{1}{x} + C.

✏️ Ejercicio 1.2 — Sustitución

Resolvé usando uu-sustitución.

a. ∫2x(x2+1)5 dx\int 2x (x^2 + 1)^5 , dx

b. ∫cos⁡(2x) dx\int \cos(2x) , dx

c. ∫xx2+4 dx\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx

Solución

a. Sea u=x2+1u = x^2 + 1, du=2x dxdu = 2x , dx. Queda ∫u5 du=u66+C=(x2+1)66+C\int u^5 , du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C.

b. Sea u=2xu = 2x, du=2 dxdu = 2 , dx, dx=du/2dx = du/2. Queda 12∫cos⁡u du=sin⁡(2x)2+C\frac{1}{2} \int \cos u , du = \frac{\sin(2x)}{2} + C.

c. Sea u=x2+4u = x^2 + 4, du=2x dxdu = 2x , dx, x dx=du/2x , dx = du/2. Queda 12∫duu=12⋅2u=x2+4+C\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} = \sqrt{x^2 + 4} + C.

✏️ Ejercicio 1.3 — Aplicación física

Un objeto se mueve en línea recta con velocidad v(t)=6t2−4t+3v(t) = 6t^2 - 4t + 3 m/s. Si en t=0t = 0 está en la posición x0=5x_0 = 5 m, encontrá su posición x(t)x(t) para todo t≥0t \geq 0.

Solución

La velocidad es la derivada de la posición. La posición es la antiderivada de la velocidad:

x(t)=∫v(t) dt=∫(6t2−4t+3) dt=2t3−2t2+3t+Cx(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 - 4t + 3) \, dt = 2t^3 - 2t^2 + 3t + C

Para encontrar CC, usamos la condición inicial: x(0)=5x(0) = 5.

x(0)=0−0+0+C=C⇒C=5x(0) = 0 - 0 + 0 + C = C \quad \Rightarrow \quad C = 5

Respuesta: x(t)=2t3−2t2+3t+5x(t) = 2t^3 - 2t^2 + 3t + 5.

Esto es por qué la constante de integración importa. No representa "nada" — representa la información que perdés al derivar (en este caso, la posición inicial). La condición inicial es la que te la devuelve.

1.9 Para profundizar

Definiciones nuevas en este capítulo: antiderivada, integral indefinida, constante de integración, integrando, sustitución uu, función elemental.

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