La integral definida y el Teorema Fundamental

"Si he visto más lejos, es porque estoy parado sobre los hombros de gigantes." — Newton, citando a Bernardo de Chartres del siglo XII.

Qué vas a aprender en este capítulo

Vas a entender el otro lado del cálculo integral: no la antiderivada (familia de funciones), sino la integral definida (un solo número). Vas a ver de dónde sale esa noción — de un problema antiquísimo: calcular el área debajo de una curva. Y vas a ver cómo, milagrosamente, los dos conceptos (antiderivar y calcular áreas) están conectados por el resultado más importante del cálculo: el Teorema Fundamental.

2.1 La idea: sumar muchas cosas pequeñas

💡 Intuición

Imaginate un río que pasa por una pluviometría: la cantidad de agua que pasa por minuto va cambiando con el tiempo (más por la noche, menos al mediodía). En un día, querés saber cuánta agua total pasó.

Si el caudal fuera constante (digamos 100 litros por minuto), sería trivial: $100 \times 1440$ minutos en un día $= 144{,}000$ litros. Pero no es constante. Cambia minuto a minuto.

¿Qué hacés? Sumás muchos pedacitos. Cortás el día en intervalos chicos — digamos, cada minuto. En cada minuto el caudal es aproximadamente constante, así que multiplicás por la duración del minuto. Sumás todos los pedacitos. Cuanto más finos los intervalos, más precisa la estimación.

Esa idea — sumar infinitos pedacitos infinitamente pequeños — es la integral definida.

Si $f(t)$ es el caudal en función del tiempo, la integral definida $\int_a^b f(t) , dt$ es el agua total entre $t = a$ y $t = b$ .

Otra forma de verlo: si dibujás $f(t)$ como una curva, la integral es el área debajo de la curva entre $t = a$ y $t = b$ . Caudales altos = áreas altas. Sumá las áreas y tenés el total.

📜 Historia

El problema del área se viene mascando desde Arquímedes (siglo III a.C.). Él calculó el área de un segmento de parábola usando lo que llamó método de exhaución — sumas finitas de figuras simples que se acercaban cada vez más al área buscada. Es precursor directo del cálculo integral, dos mil años antes de Newton.

Pero la definición rigurosa la dio Bernhard Riemann en 1854, en un manuscrito presentado para su habilitación en la Universidad de Göttingen. Tenía 28 años. Su definición — que vas a ver acá — sigue siendo la estándar en cualquier libro de cálculo introductorio del mundo.

Riemann murió a los 39 años, de tuberculosis, en Italia. Pero entre los 25 y los 39 publicó tan poco y tan profundo que su nombre aparece en geometría riemanniana, hipótesis de Riemann (uno de los Problemas del Milenio, $1{,}000{,}000 USD si lo resolvés), y la integral de Riemann que estás aprendiendo ahora.

2.2 Sumas de Riemann

📐 Fundamento

Sea $f$ una función definida en el intervalo $[a, b]$ . Vamos a aproximar el área debajo de $f$ entre $a$ y $b$ .

Paso 1: Particionar el intervalo. Dividimos $[a, b]$ en $n$ subintervalos del mismo ancho $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ . Los puntos de división son $x_0 = a, x_1, x_2, \dots, x_n = b$ .

Paso 2: Elegir un punto representante en cada subintervalo. Llamamos $x_i^*$ al punto representante del $i$ -ésimo subintervalo (puede ser el extremo izquierdo, derecho, o el medio — distintas convenciones).

Paso 3: Aproximar el área de cada subintervalo con un rectángulo. Altura: $f(x_i^$ . Ancho: $\Delta x$ . Área del rectángulo: $f(x_i^$ ) \cdot \Delta x $f (x_{i}^{*}) \cdot Δ x$ .

Paso 4: Sumar todos los rectángulos.

S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \cdot \Delta x

Esa es la suma de Riemann.

Paso 5: Hacer los rectángulos infinitamente delgados.

\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \cdot \Delta x

Cuando este límite existe (e independiente de cómo elijas $x_i^*$ ), decimos que $f$ es integrable en $[a, b]$ y llamamos al límite la integral definida de $f$ entre $a$ y $b$ .

Notación de Leibniz, otra vez. El símbolo $\int_a^b$ es la "S" alargada de "summa". $f(x)$ es la altura del rectángulo, $dx$ es su ancho infinitesimal. La integral es suma de altura por ancho — área. Cada vez que veas $\int$ , pensá "suma infinita".

Las funciones continuas son integrables. Eso resume el caso del 99% de los problemas que vas a ver.

2.3 Propiedades básicas de la integral definida

📐 Fundamento

Asumiendo que las integrales involucradas existen:

Propiedad	Forma	Por qué tiene sentido
Linealidad — constantes	$\int_a^b k f(x) , dx = k \int_a^b f(x) , dx$	Sacar constante común
Linealidad — sumas	$\int_a^b [f + g] , dx = \int_a^b f + \int_a^b g$	El área se suma
Aditividad de intervalos	$\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$	Pegar dos áreas
Inversión de límites	$\int_a^b f = -\int_b^a f$	Recorrido al revés tiene "área negativa"
Mismo extremo	$\int_a^a f = 0$	Intervalo de ancho cero
Comparación	Si $f \leq g$ en $[a,b]$ , $\int_a^b f \leq \int_a^b g$	Más alto da más área

Diferencia crucial con la integral indefinida:

Indefinida $\int f(x) , dx$	Definida $\int_a^b f(x) , dx$
Es una familia de funciones	Es un número
Lleva $+ C$	NO lleva $+ C$
Significa "todas las antiderivadas"	Significa "el área entre $a$ y $b$ "

Este punto se confunde tan seguido que vale la pena repetirlo: la integral definida no lleva $+ C$ . Es un valor numérico específico.

2.4 El Teorema Fundamental del Cálculo

📐 Fundamento

Hasta acá tenemos dos conceptos aparentemente sin relación:

Antiderivada (capítulo 1): operación inversa de derivar. Familia de funciones.
Integral definida (este capítulo): límite de sumas. Un número, área bajo una curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) dice: son la misma cosa, en sentidos precisos. Es uno de los resultados más bellos en toda la matemática.

TFC — Parte 1. Sea $f$ continua en $[a, b]$ . Definí:

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt

Entonces $F$ es derivable y:

F'(x) = f(x)

En palabras: la "función área acumulada" desde $a$ hasta $x$ es una antiderivada de $f$ . Derivar el área bajo la curva te devuelve la función original.

TFC — Parte 2. Sea $f$ continua en $[a, b]$ y $F$ cualquier antiderivada de $f$ . Entonces:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Esta es la versión computacional. Para calcular un área, NO hacés sumas de Riemann (que es horrible). Encontrás cualquier antiderivada $F$ , y restás. Eso es todo.

Notación útil: se escribe $F(b) - F(a)$ como $\left[ F(x) \right]_a^b$ , leído "F evaluada de $a$ a $b$ ".

El TFC es lo que convierte el cálculo de integrales en un problema algebraico. Sin él, calcular áreas requeriría hacer sumas infinitas a mano (lo que torturó a generaciones de matemáticos antes de Newton y Leibniz). Con él, basta con encontrar una antiderivada.

🛠️ En la práctica

Cómo aplicar el TFC en 3 pasos.

Encontrá una antiderivada $F$ del integrando.
Evaluá $F(b)$ y $F(a)$ .
Restá: $F(b) - F(a)$ .

Ejemplo 1. Calcular $\int_0^2 x^2 , dx$ .

Antiderivada: $F(x) = \frac{x^3}{3}$ (no necesitás $+ C$ — se cancela en la resta).

\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

Ejemplo 2. Calcular $\int_0^{\pi} \sin x , dx$ .

Antiderivada: $-\cos x$ .

\left[ -\cos x \right]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2

El área debajo de la curva del seno entre $0$ y $\pi$ es exactamente $2$ . Bonito.

Ejemplo 3. Calcular $\int_1^4 (3x^2 - 2x + 1) , dx$ .

Antiderivada: $F(x) = x^3 - x^2 + x$ .

F(4) = 64 - 16 + 4 = 52

F(1) = 1 - 1 + 1 = 1

Resultado: $52 - 1 = 51$ .

Ejemplo 4 — área negativa. Calcular $\int_0^{2\pi} \sin x , dx$ .

Antiderivada: $-\cos x$ .

\left[ -\cos x \right]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0

¡Cero! ¿Por qué? Porque entre $0$ y $\pi$ el seno es positivo (área positiva, $+2$ ), y entre $\pi$ y $2\pi$ es negativo (área negativa, $-2$ ). Suman cero.

Lección importante. La integral definida NO es exactamente "área". Es área con signo — positiva donde la función es positiva, negativa donde es negativa. Si querés el área geométrica total (siempre positiva), tenés que dividir el intervalo en regiones donde el signo es consistente y sumar valores absolutos.

2.5 Aplicaciones inmediatas

🛠️ En la práctica

Aplicación 1: Distancia recorrida desde velocidad.

Si un objeto se mueve con velocidad $v(t)$ entre los tiempos $t_1$ y $t_2$ , la distancia recorrida es:

d = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt

(Ojo: si la velocidad cambia de signo, esto te da el desplazamiento — posición final menos inicial. Para distancia recorrida real, usás $|v(t)|$ .)

Ejemplo. Un auto se desplaza con $v(t) = 10 + 2t$ m/s entre $t = 0$ y $t = 5$ s.

d = \int_0^5 (10 + 2t) \, dt = \left[ 10t + t^2 \right]_0^5 = 50 + 25 = 75 \text{ m}

Aplicación 2: Área entre dos curvas.

Si $f \geq g$ en $[a, b]$ , el área entre ambas es:

A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx

Ejemplo. Área entre $y = x^2$ e $y = x$ entre $0$ y $1$ . En ese intervalo $x \geq x^2$ , así que:

A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Aplicación 3: Trabajo realizado.

En física, si una fuerza variable $F(x)$ actúa sobre un objeto entre las posiciones $a$ y $b$ , el trabajo es:

W = \int_a^b F(x) \, dx

Esto es por qué el cálculo y la física crecieron juntos — Newton inventó el cálculo precisamente para resolver problemas de mecánica que involucran sumas de cantidades que cambian.

2.6 Resumen visual

Pregunta	Respuesta
¿Qué tiene de "fundamental" el TFC?	Convierte un problema de áreas en uno de antiderivadas
¿La integral definida es siempre positiva?	No; áreas debajo del eje cuentan negativo
¿Necesito la $+ C$ al usar el TFC?	No; se cancela al restar

2.7 Ejercicios

✏️ Ejercicio 2.1 — Aplicación directa del TFC

Calculá las siguientes integrales definidas.

a. $\int_0^3 (x^2 + 1) , dx$

b. $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} , dx$

c. $\int_0^{\pi/2} \cos x , dx$

d. $\int_{-1}^{2} (3x - 2) , dx$

✏️ Ejercicio 2.2 — Área bajo una curva

a. Calculá el área de la región limitada por $y = x^2$ , el eje $x$ , y las rectas $x = 0$ , $x = 3$ . b. Calculá el área entre las curvas $y = x^2$ e $y = 2x$ entre $x = 0$ y $x = 2$ .

✏️ Ejercicio 2.3 — Aplicación física

La velocidad de una pelota lanzada hacia arriba está dada por $v(t) = 25 - 9.8 t$ m/s.

a. ¿Cuál es el desplazamiento entre $t = 0$ y $t = 5$ ? b. ¿Cuál es la distancia recorrida en ese intervalo? (Esta NO es lo mismo que el desplazamiento.)

✏️ Ejercicio 2.4 — Pensalo

Usando el TFC parte 1, calculá $\frac{d}{dx} \int_0^x \cos(t^2) , dt$ . (Ojo: la integral $\int \cos(t^2) , dt$ NO tiene antiderivada elemental — es una de las "imposibles" que vimos en el capítulo 1. Pero el TFC parte 1 te permite derivarla sin calcularla.)

2.8 Para profundizar

Libro: Stewart, Cálculo de una variable, capítulos 5 (integral definida) y 5.3-5.4 (TFC). Ahí están las demostraciones rigurosas que acá esquivamos.
Visualización: 3Blue1Brown, "Essence of Calculus", episodio 8, hace una explicación geométrica del TFC que vale la pena ver.
Próximo capítulo: Técnicas de integración — sustitución completa, integración por partes, fracciones parciales, sustitución trigonométrica. Las herramientas para atacar integrales que NO se rinden con la tabla básica.

Definiciones nuevas en este capítulo: partición, suma de Riemann, integrable, integral definida, función integrable, área con signo, Teorema Fundamental del Cálculo (partes 1 y 2).

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