Aplicaciones de la integral definida

📐 Fundamento

Caso simple. Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$, el área entre las dos curvas es:

(altura del rectángulo infinitesimal = $f(x) - g(x)$, ancho = $dx$).

Caso general. Si las curvas se cruzan en algún punto, hay que romper la integral donde cambia el signo de la diferencia.

Ejemplo 1. Área entre $y = x^2$ y $y = 2x$.

Intersecciones: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0, 2$. En $[0, 2]$, $2x \geq x^2$.

Ejemplo 2 — integrando respecto a $y$. Área entre $x = y^2$ y $x = y + 2$.

Si integráramos en $x$, tendríamos que partir el dominio. Pero si integramos en $y$:

Intersecciones: $y^2 = y + 2 \Rightarrow y = -1, 2$. En $[-1, 2]$, la recta está a la derecha.

Lección. Elegir bien la variable de integración (a veces $dx$, a veces $dy$) puede ahorrar una hora de cuenta.

📐 Fundamento

Si rotás una región plana alrededor de un eje, generás un sólido de revolución. Hay tres métodos para calcular su volumen — cada uno es bueno según la geometría.

Método 1: Discos. Si la región $0 \leq y \leq f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$ se rota alrededor del eje $x$:

(cada rebanada perpendicular al eje es un disco de radio $f(x)$).

Método 2: Anillos (washers). Si la región está entre dos curvas $g(x) \leq y \leq f(x)$:

(rebanada = anillo: disco grande menos disco pequeño).

Método 3: Cascarones cilíndricos (shells). Si rotás alrededor de un eje paralelo a la variable de integración (ej: rotar alrededor del eje $y$ una región dada como $y = f(x)$):

(rebanada vertical de la región genera un cilindro hueco de radio $x$, altura $f(x)$, espesor $dx$; su volumen es $2 \pi x \cdot f(x) \cdot dx$).

Cuándo cuál. En la práctica vas a probar uno y, si las cuentas se ponen feas, cambiar al otro. Una guía:

Ejemplo. Volumen del sólido al rotar $y = \sqrt{x}$ entre $0$ y $4$ alrededor del eje $x$.

Discos: $V = \int_0^4 \pi (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x , dx = \pi \cdot 8 = 8\pi$.

Volumen de la esfera (verificación clásica). La esfera de radio $r$ se obtiene rotando el semicírculo $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ ($-r \leq x \leq r$) alrededor del eje $x$:

$\boxed{V = \frac{4}{3} \pi r^3}$. La fórmula que sabés desde la primaria, demostrada con cálculo integral.

📐 Fundamento

¿Cuánto mide una curva $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$?

Idea. Aproximá la curva con una poligonal de segmentitos de longitud $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} , dx$. Sumá:

Ejemplo. Longitud de $y = \frac{2}{3}(x^2 + 1)^{3/2}$ entre $x = 0$ y $x = 2$.

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(x^2+1)^{1/2}(2x) = 2x \sqrt{x^2+1}$.

$1 + [f'(x)]^2 = 1 + 4x^2(x^2+1) = 4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2$.

$\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = 2x^2 + 1$.

$L = \int_0^2 (2x^2 + 1) dx = \frac{2x^3}{3} + x \Big|_0^2 = \frac{16}{3} + 2 = \frac{22}{3}$.

Trampa. Con curvas más realistas, $\sqrt{1 + (f')^2}$ casi nunca tiene antiderivada elemental. La mayoría de los problemas de longitud de arco terminan en métodos numéricos. Los pocos que dan en clase son cuidadosamente elegidos para que se pueda integrar.

📐 Fundamento

Definición. El valor medio de $f$ en $[a, b]$ es:

Interpretación geométrica. $\bar{f}$ es la altura constante que daría la misma área que $f$ debajo. Es el "promedio continuo" de los valores que $f$ toma.

Ejemplo. La temperatura en San Miguel un día sigue $T(t) = 24 + 6 \sin\left(\frac{\pi(t - 6)}{12}\right)$ (en °C, $t$ en horas). ¿Cuál es la temperatura promedio entre las 6 y las 18 (las 12 horas de día)?

$\bar{T} = \frac{1}{12} \int_6^{18} \left[24 + 6 \sin\left(\frac{\pi(t-6)}{12}\right)\right] dt$.

La integral del término constante: $24 \cdot 12 = 288$.

La del seno (con $u = \pi(t-6)/12$, $du = \pi dt / 12$, $dt = 12 du / \pi$):

$\int_0^\pi 6 \sin u \cdot \frac{12}{\pi} du = \frac{72}{\pi}[-\cos u]_0^\pi = \frac{72}{\pi}(1 + 1) = \frac{144}{\pi}$.

$\bar{T} = \frac{1}{12}(288 + 144/\pi) = 24 + 12/\pi \approx 27.8$ °C.

Teorema del valor medio para integrales. Si $f$ es continua en $[a, b]$, existe un $c \in [a, b]$ tal que:

(es decir, $f$ alcanza su valor medio en algún punto).

📐 Fundamento

Recordá de física: $W = F \cdot d$ cuando $F$ es constante. Si $F$ varía con la posición:

Ejemplo 1: estirar un resorte. Por ley de Hooke, $F(x) = kx$ (donde $x$ es la deformación). El trabajo para estirarlo desde $0$ hasta $X$:

(que es exactamente la energía potencial elástica que viste en física).

Ejemplo 2: bombear agua. Para subir una porción $dV$ de agua desde una profundidad $y$ contra la gravedad, se requiere trabajo $\rho g y , dV$. Sumando para todo el tanque:

(con la geometría del tanque para expresar $dV$ en función de $y$).