Glosario — Cálculo Integral

A

Antiderivada (primitiva). $F$ es antiderivada de $f$ si $F'(x) = f(x)$. Difieren por una constante. Se escribe $\int f(x),dx = F(x) + C$.

Área bajo la curva. Para $f \geq 0$, $\int_a^b f(x),dx$ es el área entre la curva y el eje X.

C

Catenaria. Curva que adopta una cuerda colgada por su propio peso. Ecuación: $y = a \cosh(x/a)$. Aparece en cables, puentes colgantes, líneas de alta tensión.

Centro de masa. Punto $(\bar x, \bar y)$ donde la masa puede considerarse concentrada. Para una placa 2D: $\bar x = \frac{1}{A}\int x,dA$, $\bar y = \frac{1}{A}\int y,dA$.

Constante de integración. El $+C$ al final de una integral indefinida. Sin ella, "una" antiderivada — con ella, todas las antiderivadas.

D

Discos (método de). Para volúmenes de revolución alrededor del eje X: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

F

Fracciones parciales. Técnica para integrar $\frac{P(x)}{Q(x)}$ descomponiendo en suma de fracciones más simples.

I

Impulso. En física: $J = \int F,dt$. Integral de la fuerza en el tiempo. Cambio en momento lineal.

Integral definida. $\int_a^b f(x),dx$ — un número. Geometría: área (con signo) entre $f$ y eje X de $a$ a $b$.

Integral indefinida. $\int f(x),dx$ — una familia de funciones (antiderivadas).

Integración por partes. $\int u,dv = uv - \int v,du$. Útil cuando $u,dv$ no es directo pero $v,du$ lo es.

L

Longitud de arco. Para una curva $y = f(x)$ de $a$ a $b$: $L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2},dx$.

M

Momento. En estadística y mecánica: $\int x \cdot f(x),dx$. El "primer momento" mide centro; el "segundo" mide dispersión.

R

Regla de Simpson. Método numérico de integración: aproxima por parábolas en cada subintervalo. Más precisa que la regla del trapecio.

Regla del trapecio. Aproxima por trapezoides: $\int_a^b f(x),dx \approx \frac{h}{2}[f(a) + 2\sum f(x_i) + f(b)]$.

S

Sólido de revolución. Volumen generado al rotar una región alrededor de un eje. Métodos: discos, anillos, cascarones.

Sustitución (método de). Si $u = g(x)$, entonces $\int f(g(x)) g'(x),dx = \int f(u),du$.

T

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC).

• Parte 1: $\int_a^b F'(x),dx = F(b) - F(a)$. La integral evalúa la antiderivada.
• Parte 2: Si $F(x) = \int_a^x f(t),dt$, entonces $F'(x) = f(x)$.

El TFC conecta derivación e integración como operaciones inversas. Es la idea más importante del cálculo.

Trapecio (regla del). Ver "regla del trapecio".

V

Valor medio de una función. $\bar f = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x),dx$. Generalización del promedio aritmético a funciones continuas.

Variable de integración. La $x$ en $\int f(x),dx$. Es muda: $\int f(x),dx = \int f(t),dt = \int f(u),du$.

Volumen de revolución. Ver "sólido de revolución".

W

Work (trabajo). En física: $W = \int F(x),dx$ para fuerza variable. Caso especial: fuerza constante, $W = F \cdot d$.

Símbolos comunes

• $\int$ — símbolo de integral (era una S alargada por "suma").
• $\int_a^b$ — integral definida con límites.
• $dx$ — diferencial. Indica respecto a qué variable integrás.
• $C$ — constante de integración.
• $|x|$ — valor absoluto.
• $\ln$ — logaritmo natural.

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