Ejercicios — Cálculo Integral

Cada ejercicio: enunciado + pista + solución escondible. Resolvé en papel antes de mirar.

Cap. 1 — Antiderivada

1.1 — Antiderivadas básicas (básico)

Calculá: a) $\int (3x^2 - 4x + 1),dx$ , b) $\int (e^x + \cos x),dx$ , c) $\int \dfrac{1}{x},dx$ .

✅ Solución

a) $x^3 - 2x^2 + x + C$ . b) $e^x + \sin x + C$ . c) $\ln|x| + C$ . Valor absoluto porque $\ln$ no está definido para negativos.

1.2 — Aplicación: velocidad → posición (intermedio)

Un objeto tiene velocidad $v(t) = 6t - 4$ m/s y posición inicial $s(0) = 10$ m. Encontrá $s(t)$ .

✅ Solución

$s(t) = \int v(t),dt = 3t^2 - 4t + C$ . Con $s(0) = 10$ : $C = 10$ . Entonces $s(t) = 3t^2 - 4t + 10$ .

Cap. 2 — Integral definida y TFC

2.1 — Cálculo directo (básico)

Calculá $\int_0^2 (3x^2 + 1),dx$ .

✅ Solución

$\left[x^3 + x\right]_0^2 = (8 + 2) - 0 = 10$ .

2.2 — TFC parte 2 (intermedio)

Si $F(x) = \int_0^x \sqrt{1 + t^2},dt$ , calculá $F'(x)$ y $F'(3)$ .

💡 Pista

Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2: $F'(x) = f(x)$ .

✅ Solución

$F'(x) = \sqrt{1 + x^2}$ . $F'(3) = \sqrt{10}$ .

No tenés que calcular la integral — el TFC te da la derivada directamente.

2.3 — Área bajo una curva (aplicación)

Calculá el área entre $y = x^2$ y el eje X, entre $x = 0$ y $x = 3$ .

✅ Solución

$A = \int_0^3 x^2,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^3 = 9$ unidades cuadradas.

Cap. 3 — Técnicas de integración

3.1 — Sustitución (básico)

Calculá $\int 2x \cos(x^2),dx$ .

💡 Pista

$u = x^2$ , $du = 2x,dx$ .

✅ Solución

$\int \cos u,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$ .

3.2 — Por partes (intermedio)

Calculá $\int x e^x,dx$ .

💡 Pista

$\int u,dv = uv - \int v,du$ . Elegí $u = x$ (que se simplifica al derivar), $dv = e^x,dx$ .

✅ Solución

$u = x$ , $du = dx$ , $dv = e^x dx$ , $v = e^x$ .

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$ .

3.3 — Fracciones parciales (avanzado)

Calculá $\int \dfrac{1}{x^2 - 1},dx$ .

💡 Pista

$\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ . Encontrá $A$ y $B$ .

✅ Solución

$1 = A(x+1) + B(x-1)$ . Con $x = 1$ : $A = 1/2$ . Con $x = -1$ : $B = -1/2$ .

$\int \dfrac{1}{x^2 - 1},dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C = \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C$ .

3.4 — Sustitución trigonométrica (avanzado)

Calculá $\int \sqrt{1 - x^2},dx$ usando $x = \sin\theta$ .

✅ Solución

Con $x = \sin\theta$ : $dx = \cos\theta,d\theta$ , $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$ .

$\int \cos^2\theta,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$ .

(Aplicación: área de un círculo.)

Cap. 4 — Aplicaciones

4.1 — Área entre curvas (básico)

Encontrá el área entre $y = x^2$ y $y = 2x$ desde su intersección.

✅ Solución

Intersección: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$ .

Para $0 \leq x \leq 2$ , $2x \geq x^2$ .

$A = \int_0^2 (2x - x^2),dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ .

4.2 — Sólido de revolución (intermedio)

Rotá $y = \sqrt{x}$ alrededor del eje X, entre $x = 0$ y $x = 4$ . Calculá el volumen.

💡 Pista

Método de discos: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2,dx$ .

✅ Solución

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2,dx = \pi \int_0^4 x,dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^4 = 8\pi$ .

≈ 25.13 unidades cúbicas.

4.3 — Trabajo de un resorte (aplicación)

La fuerza para comprimir un resorte $x$ metros desde su posición natural es $F(x) = 100x$ N. ¿Cuánto trabajo se hace al comprimirlo 0.3 m?

✅ Solución

$W = \int_0^{0.3} 100x,dx = 50 \cdot 0.09 = 4.5$ J.

Ley de Hooke: $F = kx$ con $k = 100$ N/m.

4.4 — Centro de masa (avanzado)

Encontrá el centro de masa $\bar y$ de una placa uniforme limitada por $y = x^2$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$ .

✅ Solución

$\bar y = \dfrac{1}{2A}\int_a^b [f(x)]^2 dx$ con $A$ = área.

$A = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$ .

$\bar y = \dfrac{1}{2/3} \int_0^1 x^4 dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$ .

Reto integrador

R.1 — Integrales en la pupusería

La demanda diaria de pupusas en función del precio sigue $D(p) = 200e^{-p}$ (más caras = menos vendidas).

a) Si el precio es $p = 0.50, ¿cuántas pupusas vende al día? b) Cálculo del excedente del consumidor entre $p = 0$ y $p = 0.50$ (área entre la curva y el precio horizontal). c) Para qué precio el excedente del consumidor es máximo? (Truco: depende del rango.)

✅ Solución

a) $D(0.50) = 200 e^{-0.5} \approx 121$ pupusas.

b) Excedente = $\int_0^{0.50} D(p),dp - 0.50 \cdot D(0.50) = -200 e^{-p}\Big|_0^{0.50} - 60.65 = 200(1 - e^{-0.5}) - 60.65 \approx 78.69 - 60.65 = 18.04$ .

c) Sin más restricciones, el excedente crece sin límite a medida que $p \to 0$ (regalás todo). En realidad hay un costo $c$ , y el problema es maximizar excedente del productor = $p \cdot D(p)$ . Ese sí tiene un máximo (lo viste en cap. 5 de Cálculo Diferencial).

Sugerencias: osielquevedo@gmail.com.

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