Medidas de tendencia central

📐 Fundamento

Definición. La media aritmética de un conjunto de $n$ datos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ es:

Notación:

• $\bar{x}$ ("x barra") denota la media de una muestra.
• $\mu$ (mu) denota la media de una población (todo el conjunto, no una muestra).
• $\sum$ es el símbolo de sumatoria: $\sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$.

Propiedad clave: la media es el "punto de equilibrio". Si imaginás los datos como pesas en una recta numérica, la media es el lugar donde la recta se equilibraría. Equivalentemente:

La suma de las desviaciones respecto a la media es cero. Es lo que define a la media matemáticamente.

Cómo afectan los outliers. La media es muy sensible a valores extremos. Ejemplo:

Salarios mensuales (en dólares) de 5 empleados:

• 400, 420, 450, 470, 5000.

Media: $(400 + 420 + 450 + 470 + 5000)/5 = 1148$.

¿"Salario típico" $1148"? Cuatro de cinco ganan menos de$500. La media miente porque el quinto valor es atípico.

Eso pasa con el "salario promedio" en El Salvador, en EE.UU., en cualquier país: la media está inflada por unos pocos millonarios. La estadística profesional reporta la mediana para esto. Más adelante.

📐 Fundamento

Definición. La mediana $\tilde{x}$ es el valor que divide al conjunto ordenado en dos mitades: la mitad de los datos están por debajo, la otra mitad por encima.

Cómo calcularla.

1. Ordená los datos de menor a mayor.
2. Si $n$ es impar: la mediana es el valor central, posición $(n+1)/2$.
3. Si $n$ es par: la mediana es el promedio de los dos valores centrales (posiciones $n/2$ y $n/2 + 1$).

Ejemplo 1 — n impar. Datos: $3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5$ (n = 9).

Ordenados: $1, 1, 2, 3, \boxed{4}, 5, 5, 6, 9$. Mediana = 4 (posición 5).

Ejemplo 2 — n par. Datos: $7, 1, 2, 8, 3, 9$ (n = 6).

Ordenados: $1, 2, \boxed{3, 7}, 8, 9$. Mediana = $(3 + 7)/2$ = 5.

Ventaja sobre la media: robustez. La mediana no se ve afectada por valores extremos. Volviendo a los salarios:

• Datos: $400, 420, 450, 470, 5000$.
• Media: $1148$ (sesgada por el outlier).
• Mediana: $450$ (mucho más representativa).

Si reemplazás $5000$ por $50{,}000{,}000$, la mediana sigue siendo $450$. Por eso los reportes serios de salario, precio de vivienda, etc. usan mediana, no media.

Cuándo usar mediana en lugar de media:

• Datos con outliers o cola larga (asimétricos).
• Distribuciones de ingreso, precios, tiempos de espera, etc.
• Datos ordinales (ranking) — la media no tiene sentido.

Cuándo usar media:

• Datos simétricos y sin outliers (alturas humanas, temperaturas en un mes).
• Cuando vas a hacer cálculos posteriores (varianza, desviación) — son más fáciles con la media.
• Cuando la "suma total" importa: salario promedio × número de empleados = costo total de planilla.

📐 Fundamento

Definición. La moda es el valor que aparece con más frecuencia.

Ejemplo. Edades: $18, 19, 19, 20, 19, 21, 18, 19$. La moda es 19 (aparece 4 veces).

Casos especiales:

• Sin moda: todos los valores tienen igual frecuencia.
• Bimodal: dos valores empatan en frecuencia máxima.
• Multimodal: tres o más empatan.

¿Para qué sirve? Es la única medida que tiene sentido para datos nominales (cualidades sin orden). Si preguntaste "¿cuál es tu carrera favorita?", la respuesta más común — Sistemas, Civil, Industrial, lo que sea — es la moda. La media de "carreras" no significa nada.

Para datos cuantitativos, la moda es menos informativa que media o mediana. La usás cuando:

• Querés saber el valor más común (talla de zapato más vendida, hora pico).
• El dato es nominal/categórico.
• Hay claros "picos" de frecuencia que destacan.

📐 Fundamento

A veces los datos vienen agrupados en intervalos (ej: histogramas de salarios). En ese caso usás la marca de clase (punto medio del intervalo) como representante:

donde $f_i$ es la frecuencia (cuántos datos hay en el intervalo $i$), $m_i$ es la marca de clase, y $n = \sum f_i$.

Ejemplo. Salarios mensuales de 50 empleados:

El salario promedio es $494. Usamos la marca de clase porque no tenemos los valores exactos — solo a qué intervalo pertenecen.

Para mediana en datos agrupados existe una fórmula similar de interpolación, que reproducimos en el capítulo siguiente cuando trabajemos con frecuencias acumuladas.

📐 Fundamento

Cuando algunos valores importan más que otros, usás pesos:

Ejemplo: nota final de un curso.

$\bar{x} = (0.25)(7.0) + (0.25)(8.5) + (0.25)(6.0) + (0.25)(9.5) = 7.75$.

Si los pesos son iguales (todos 25%), la media ponderada coincide con la media simple. Los pesos importan cuando algunas evaluaciones valen más:

$\bar{x} = 0.2(7.0) + 0.2(8.5) + 0.2(6.0) + 0.4(9.5) = 1.4 + 1.7 + 1.2 + 3.8 = 8.1$.

El proyecto cuenta el doble, así que pesa más en la cuenta.